X := aB — ^ sin , j = « — b cos B

C'est la troclioïde.

Au lieu de faire mouvoir le cercle O sur une droite , faisons-le rouler sur un autre cercle fixe C. Selon que la courbe mobile sera extérieure ou intérieure à la courbe fixe, on obtiendra une épitrochoïde ou une hjpofrochoïde. Soient A et Q [fig* II) les points en contact à l'origine du mou-

vement, M le poînl décrivant, et posons

OM = A, CN=x, MN=x, ACB = 0; nous aurons alors

QOB = jO,

et

(a^ b)0 X = CH 4- HN == (fl H- *) cosô — h cos ' 7—^ j

j^ == OH — OK = (fl -h ^) sinô — A sin ^ g~^^.

Si le cercle mobile est intérieur à l'autre , on a

L^ . X (a^b)O xsz (a — b) cos 4- A cos 7 »

j^=: (/jr — b) smô — /i sin 7 •

En faisant h=z b dans ces équations, on obtient celles de Vépieycloïde et de Vkypocycloïde.

Si A = i == a , Tépicycloïde a pour équation

ou , en posant x = a -f- r cos y , j^ = r sin (p ,

r = 2fl(i — cosip).

C'est une des caustiques du cercle , le point lumineux étant à la circonférence. Sa forme lui a fait donner le nom de cardioïde.

Faisons dans l'équation de Thypotrochoïde h=: b = jj

il vient

qui peut se mettre sous la forme simple

Cette courbe se rencontre dans plusieurs questions.

5ér CALCUL DirrÉREHTIEL.

L'hypolrochoïde se réduit à une ellipse si b = —

128. Soient A Torigine des axes , AM = r, AH = p. Les coordonnées de M sont x et^, celles de H, a et 65 P est la distance inconnue. On a

dx X — a 6

ce qui donne

arfx-+-6rfr = o.

Or

des équations (1) et (2), on tire

dt X — 2a

dot. X — 26

et en substituant dans P,

129. [Fig. 12.) Soient AB, BC, CD tix^is côtés consécutifs du polygone minimum, et prenons pour origine le point E où se rencontrent AB et CD ; la tangente BC doit être telle que le triangle ECB soit maximum. Déterminons le point de contact M par cette condition. On a

et

CBE = -(^4y|si„E.

Pour le maximum on trouve, en différentiant , ûfr' dx I dr\ ! dx \

et , en égalant à zéro le dernier facteur du premier membre de cette équation , il vient

ce qui montre que le côté CB est partagé en deux parties égales par le point de contact. La même chose a- donc lieu pour tous les côtés du polygone cherché.

iSO. f étant Tangle de la tangente avec le rayon vecteur, on a

Q taDgf = a et sous-(aDg z=z ra :=: ace".

13t. tangf = tang/iO;

d'où

y = /lô -h Air.

Soit (f^ répondant à T angle ^- tt , il en résulte

^' — y = /i TT ;

ce qui démontre le théorème.

§ IX. — Points d'inflexion des courbes.

-•^ 3fl 2 a