L'équation de l'ellipsoïde étant
on aura pour celle du plan tangent au point (x, j^, z)
Hx Yr Zz
avec la relation
Les équations d'une perpendiculaire à ce plan, menée p:ir l'origine, peuvent s'écrire
Pour éliminera:, y^ z entre les équations (i),(2), (3), connue la valeur commune des rapports (3) est
(a'X>-+-6»Y»-+-c'Z»)% il suffit d'observer qu'on a aX -, X bY __ r cZ „ z , „__, ^„. ,„.x-?
d'où
La podaire de l'ellipsoïde (n» 235) relativement à son centre est donc la surface d'élasticité (224).
312* Le plan tangent a pour équation
Pour déterminer son intersection avec la surface, il faut combiner l'équation (i) avec la suivante ;
(2) («'— Z») X»— Vy' = o, sachant qu'on a d'ailleurs
(3) (rt»— .z»)j:»— Ô*j«r=o.
Si l'on élimine j^ et Y entre ces trois équations, on trouve
(«2 2»)T ^^i 2»)'^X = a:z (z — Z) -4- (a» — z») X, et, par suite,
(a2 s») (z»— Z»)X^ = a:»z»(z — Z)«-t- 2xz(a^— z») (z — Z) X.
Cette équation peut s'écrire
(z — Z) { (a» — «'>[Xn5; -+- Z) — 2xzX] — x'2'(z — Z) } = o;
a3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ce qui montre que le plan tangent coupe la surface suivant une ligne droite et une courbe du troisième degré.
La surface considérée est un conoïde droit dont la génératrice se meut parallèlement au plan XY, en rencontrant constamment Taxe des z et le cercle qui a pour équations
c'est le conoïde de la voûte d'arête en tour ronde, nommé aussi coin conique de Wallis.
313. Le plan tangent a pour équation /a distance demandée est
31 4'. Les équations de l'hélice étant
X — acosô, Y~^isin0, 2 = A*0, celles de la tangente peuvent être mises sous la forme
ÎaûnB[z — kB) = — k[x — acosO) acosQ[z'-kB) =A(jr — flsinô),
et l'on en tire
(3) JCCOS0 -4-/sinô — o = o. »
La dernière de ces équations peut être considérée comme celle de l'hélicoïde développable, en y supposant B remplacé par la valeur que donne la précédente. Si Ton représente par u le premier membre de (3),* on est conduit â
SOLUTiOKS. 23 1
calculer l'expression
En différentiant et tenant compte de la relation
j jrcosQ — xsinQ= (or'-f- j» — ^')*»
qui se déduit facilement des équations (1)^ on trouve du ^ X du , ^ y du f j:»+ r^ — a*)*
—.=: COSQ y -r-=SinÔ 9 -r- = '—: —9
Ox a oy a dz A-
et, par suite, pour l'expression cherchée,
quantité constante identique au sinus de Pangle que la tangente à Thélice directrice fait avec le plan j^.
315. r étant la distance d'un point de la surface à l'origine, on trouve pour l'équation du plan tangent
(2,» a*)xX 4- (2/-'— 6»)jY -l-(2r».- c\z'A =z r*,
et pour la distance cherchée,
316. i® Surfaces à centre. 11 suffit de considérer Tellipsoïde rapporté à son centre et à ses axes. Appliquant l'équation connue des rayons de courbure principaux
I X[(H-/?')^— 2/7<7J+(i-h«7')r]-4-(i-f-/?»-4-<7')»=o, on trouve
où D représente la distance de l'origine au plan tangent
L'inverse du produit des rayons de courbure principaux étant, d'après Gauss, la mesure de la courbure, ou simplement la cowbure de cette surface, cette courbure est ici la même pour tous les points dont les plans tangents sont à égale distance du centre.
2® Pat aboloïdes . -^ L'équation de ces surfaces étant
2,a ib
on a
p 27^«, i__i(±.±^iy
2(ar* + 7*-f-2
318. i® Les équations (i) du n" 314 donnent celles-ci : acosO — X y — asind rcosÔ -^^sinô z — /-0
a sin 9 a ces d
La dernière, jointe à la relation (3) du même numéro, représente la surface, et Ton en tire en différentiant
fl// :r: — k sinô, aq •=: h COSO, r s t k
cos^ô sinÔcosO sin'Ô , , ..t
La formule (i) du n® 316 montre que Tun des rayons de courbure est infini, et que le carré de l'autre est
2® «p = =il(j:*H-j»-f- /').
En appelant courbure moyenne la demi-somme des rayons principaux de courbure, on voit que la courbure moyenne de l'hélicoïde gauche est toujours nulle.
§ XV. — Enveloppes des lignes et des surfaces,
319. k désignant une constante, Téquation générale de CCS ellipses sera
En dîflFérentiant par rapport à a, on trouve
x' + j^* ar^-4-j-*
(n°» 232 et 234.)
320. Soient A* la longueur de la ligne, a et b les segments qu'elle intercepte sur chacun des axes coordonnés à partir de l'origine ; son équation sera
avec la condition a* -h J* = /:•. Différentiant ces deux équations par rapport aux paramètres a et &, et désignant par X un multiplicateur indéterminé, il vient
et aussi
par conséquent l'enveloppe a pour équation
qui représente l'hypocycloïde du numéro précédent.
234 CALCUL DIFFÉHEUTIEL.
