I** Les équations générales du n° 306 deviennent ici
(1) —=—-=:: — — \ldl' -I- dm} -h dri^ -
abc
Si Ton désigne par cp Tangle de la génératrice avec Taxe du plan osculateur au point M de la courbe directrice, on a
(2) /a H- mê -f- W'/ = cosç, )./ -f- p-m -h v/î r= siny, et par conséquent
( 3 ) Idcx. -f- md^ -{- ndy -h OLdl -+- ^dm -\- ydnz= — sin ^ df^.
Transformant ce résultat au moyen des équations ( i ) et des formules connues (p. 192),
. , . dx d^ dy
il vient
Telle est la relation nécessaire qui régit les variations de Tangle que fait la génératrice avec Taxe du plan osculateur.
2® La relation rfcp = m étant supposée exister, la surface est développable. En effet, si l'on en tient compte ainsi que des formules (2) et (4), Téquation (3) se réduit à
ar// -f- p dm -^ ydrt = o.
On a d'ailleurs
Idl 4- mdm -\- ndn = o^
et par suite
dl dm dn
m*^ — wé noL — /y It — m
Or la direction définie par les dénominateurs de ces rapports est celle d'une droite perpendiculaire à la génératrice
et à Taxe du plan osculateur, c'est-à-dire celle de la tangente, ce qui conduit aux relations (i).
Les arêtes de rebroussement des surfaces développables définies par Téquation (5) sont dites les développées de la courbe directrice. Comme cette équation ne renferme que la différentielle de Tangle (f et non cet angle lui-même, il en résulte qu'une courbe à double courbure admet une infinité de développées. Si la courbe est plane, 9 est une quantité constante.
308. I ^ Désignons les quantités qui se rapportent à l'arête de rebroussement par les lettres affectées aux quantités analogues relatives à la courbe directrice, en les accompagnant de l'indice i. Nous excepterons seulement les cosinus directeurs de la tangente, qui seront toujours /, m, n. Cela posé, en se reportant aux notations et aux formules des pages 191 et 192, on a
É?6, dn dfi^
cil dcL; dm
et, à cause des formules (c) du n° 307,
dl =â!6>, ,
(i) { dm=. èw,,
dn z= cwi ,
da.1 :=■ — aui y
(2) { €3?6, = — bUiy
dyi= — cur,
d'où
6), = adl -+- bdm -f- cdri^
(3) tt, = — [adoLx -h bd^x -+- ccfy,).
Or, par hypothèse.
al 4- bm -f- c« = o.
et par suite,
adl -1- bdm -f- cdn =z — [Ida H- mdb ■+- ndc) = — &> sinf ,
en désignant par cp l'angle de la génératrice avec Taxe du plan osculateur au point M de la directrice ; donc
(4) «I = — 6i>sinf.
D*un autre côté, le plan tangent à la surface étant osculateur à l'arête de rebroussement (n° 305), les cosinus directeurs de Taxe de ce plan sont donnés par les relations
ai = ^/î — c/n, 6, = c/ — an^ 7, r=: am — bL
On en déduit
i adoL^ H^ bd^^ -f- Cé/7, =r — {axda -h^idb H- 71 de)
( = — «(a,XH- 6, fx •+■ 7iv),
puis
a, > 4- ê, fx -f- 7i V = — (a/ H- 6/n H- 7/2) = — cosç.
Ces résultats transforment Téquation (3) en celle-ci : (6) Wi = — wcosç.
Des valeurs (4) et (6) on tire
-=tangy;
il suit de là que, si la courbe directrice est plane, Tarète de rebroussement de la surface développable est une hélice (n** 288). Cette remarque a été faite par M. A. Serret dans le cas particulier où la génératrice est normale à une surface S sur laquelle la courbe est tracée, c'est-à-dire lorsque cette courbe est une ligne de courbiu'e de S.
2** On a trouvé généralement (n** 298), pour la distance MM, = A,
d.rdl -H djrdm -f- dzdn ' "" dl^-hdni'-^dn}^'*
Frenet. — Recueil. i5
formule qui donne îcî
D*un autre côté, des relations évidentes on tire
dx\ — dx zrz Idh -f- hdl^ dfx — djr=z mdh -h hdm^ dzi — dz = ndh -f- hdn\
Cl par suite, à cause des équations (i) et (7),. <£r, .= IdJi^ dfx = mdh^ dzy = ndhj
résultat facile à trouver par la Géométrie.
On en déduit
dsx •=! dh^
ce qui fait voir que la génération des développées de la courbe directrice est tout à fait semblable à celle de la développée d'une courbe plane.
309. Soit z = (p [x^y) Téquation de la surface donnée; si /, m, n représentent les cosinus directeurs de la normale au point M, on sait qu'on a
avec
et
dz =zpdx 4- qdy.
D'ailleurs, la courbe directrice (n** 298) étant ici une ligne de courbure, les formules du n° 306 deviennent
. . dl dm dn
abc
OU bien
12 1 rzz z:zz ——————
' €lx dy dz
Il est manifeste que d(Np) est une différentielle totale, ainsi que ^(N^) et rf(N).
On tire de là
mdz dx H- pdz dy -^ qdz ^N dp dq
L'égalité des deux derniers rapports donne immédiatement Téquation connue des lignes de courbures.
Les équations (i), cas particulier de celles que nous avons données dans le n° 306, sont dues à O. Rodrigues.
310. I** Puisque la courbe AB appartient à la surface S, on a {tûP 295)
(U ^dm dn ^dl^ -f- drn^ -f- diû^ v
^ ' dx dy dz ds ds
/, m, n étant les cosinus directeurs de la normale à cette surface au point M(a:,j^, z) de la courbe.
On a de même
dl^ dnix driy c,
^ ' dx dy dz ds
li^rriiy Jii et \^i se rapportant à la surface Si.
De plus,
cosô = lit H- mm, H- nn^j
désignant Tangle sous lequel les deux surfaces se coupent au point M. De là résulte la relation
(3) '-'SmBdB=ldli-{'mdm,-hndni-hlidl'hmidm-\-nidn;
2^8 CALCUL DIFFÉREIITIEL.
OU, à cause des équations (i) et (2) et des identités évidentes
Idx -f- mdjr H- ndz = 0, /i ctr -f- /w» cfx" -f- /ïi fl?« = o,
6 = const.
7? Réciproquement, si = const., et qu'on ait en même temps les équations (i), l'équation (3) conduit à celle-ci :
(4) Idlx -f- mdmx -I- ndrii = o; et comme on a d'ailleurs
(5) Il dix -*- 'Wi dmx -4- 7i| drti = o,
les équations (4) et (5) expriment que la direction {dlx^ drrii^ dui) est perpendiculaire à la direction (/, m, n) et à la direction (/i, mi, tii), c'est-à-dire qu'elle se confond avec la direction (rfx, dj^ dz). c. q. f. d.
