Soient OA Taxe des x^ OB celui des j^, et posons
OA.=zay OjL=b^ oazzzpy ob=q\
on demande l'enveloppe des droites données par Téquation
sachant qu'on a
pq — [a^p)[b'^q)^
ou
En différentiant les équations (i) et (2) par rapport aux paramètres variables, on a
X y dp dfj
-dp-^^-dgz=o, ^4.-J. = o;
par suite.
eue hy
ou bien
(axY db(ftr)^
Le résultat de rélimination de y:; et de 9 entre les équations (1), (2), (3) peut s'écrire
ir-af-
c'est Téquatîon d'une parabole.
Cette enveloppe est employée quelquefois dans la construction des routes comme courbe de raccordement.
On peut généraliser le problème en remplaçant la condition (a) par celle-ci :
(If) nq -i" bp -^ cpq =z ab.
Le calcul conduit alors à éliminer p et q entre cette équation et les suivantes :
pq zzzpy H- qx, q*x[a -+- cp) :=:zp'^y(b -h oy).
On tire successivement des deux dernières
aq^x — bp^x = cpq (py — qx), q'^x[a -t- ex) z=p^y[b ■+- cy)^ p[b -\- cy) — q[a -h ex) '=^ay — bx\
et, comme on déduit de l'équation (i)
p[b + cy) + q[a H- cx)^=iab^
il en résulte pour l'équation de l'enveloppe
x} r'^ , .XY ix ir
a^ b^ ^ ' ab a b
Les deux systèmes de points déterminés sur les axes par la droite mobile, en vertu de l'équation (&), sont dits homo graphiques. On voit que le calcul précédent démontre ce théorème :
Une droite qui se meut dans un plan en en déterminant sur Jeux droites fixes des divisions homographiques
236 CALCUL DIFFÉREKTIEL.
enifeloppe une conique tangente à ces deux droites , {f^oii Briot et Bouquet, Géom, analyt,, chap. XI).
324. Appelant Xx ex j^ les coordonnées de rextrémiie d'un diamètre, celles de son conjugué seront
et la ligne qui joint ces deux points a pour équation
bx^[ay H- bx) -f- ay\[ay — bx) — a^b*= o.
On trouve pour l'équation de l'enveloppe
9 hi
325. Si, dans Téquation de la tangente en un point d'une conique, on remplace les coordonnées du point parles coordonnées a, 6 d'un autre point fx, on sait que la nouvelle équation représente la polaire du point par rapport à la conique, le point fx étant le pôle de cette droite. Cela posé, si la courbe C a pour équation
(i) aj;'-f- ^/»xj--f- cj*H- a/j? -f- 2g-jH- /i =: o,
la question revient à trouver l'enveloppe de la droite dont l'équation est
les paramètres a et 6 satisfaisant à la condition
(3) «a' -h aôae-f-cê'H- a/a 4- 2gS-\- h = o
Faisant pour abréger px-hqy =zV^ qx= rj =: Q et nommant X un facteur indéterminé, on trouve
On obtient le résultat de l'élimination de X, a, o entre les équations (2), (3), (4) et (5) en posant
H en résulte, pour Téquation de Tenveloppe cherchée,
(^'-c/0P+2(6A-/^)PQ-4-(/»-a^)Q^ .
-f-2(6^--r/)P-+-2(^/— a^)Q-f-^*— ac = o.
En cherchant Tenveloppe des polaires des points de cette courbe par rapport à la conique (P), on retrouve C. Le fait est général : si les polaires des points d'une courbe quelconque A enveloppent une courbe B, réciproquement les polaires des points de B par rapport à la même conique enveloppent la courbe A. De là vient le nom de polaires réciproques donné à ces courbes [Voir Briot et Bouquet, Géom. analyt.f chap. X).
326. Quelle que soit la relation f(zi,(^) = o à laquelle doivent satisfaire les paramètres, on est conduit à les éliminer entre Téquation de la droite et celles-ci :
Ces dernières deviennent ici
—'—^ -= ^-— = [au ~ lYiau + 2),
d'où résulte pour Téquation de Tenveloppe
Si /{b =. ol^j a^ ^ ovL ^ une cissoïde.
Les quantités u et ^^ considérées comme des variables
indépendantes, déterminent dans le plan une inSnité de positions pour la droite représentée par ux 4- i^j = i 5 on les nomme les coordonnées tangentielles de la droite. Cette droite variable a une enveloppe, quand il existe entre u et v une relation 9 (m,*') = o, qui est dite alors V équation tangentielle de la courbe enveloppe.
La considération des coordonnées tangentielles, due à Plûcker [Journal de Crelle, t. V) se rattache au Principe de dualité^ Tune des conceptions les plus importantes de la Géométrie analytique. (^ow'Chasles, Aperçu historique,)
