L'équation de la spirale, peut être mise sous la forme
Y w , jc' -4- r* arc tang - = - log r^^-
Celle d'une hyperbole équilatère étant
.r^ — J^ = /*' COS 2 6 = m*
cette courbe touchera la spirale au point = « si Ton a
(i) /»'= a*e'cos2w,
(2) fii)tang2fit> = i.
La polaire d'un point [x^y),^ pris sur la spirale, ayantpour équation Xx — Y^ = m*, l'enveloppe des positions de cette droite s'obtient en éliminant x ely entre les équations
y w .r^ + j' /ox / arc tang - = - log -— j
Sî Ton passe aux coordonnées polaires, et qu'on fasse
X = r,cosO,, Y = r,sin6i,
comme on a déjà x = rcos9, y =^ rsinô, le système (3)
revient à celui-ci :
(4) rr,cos(ô-hôi)=:/w% r=aê', - = tang(ô -h 0,).
En vertu de la condition {2), la dernière des équations (4) donne
OÙ h désigne, en général, un nombre entier, lequel est ici égal à zéro, puisque les angles 6 et 0i prennent simultanément la valeur o). De là résulte
et, par suite,
rri=:' «'e%
r.^zae'^.
328. 1° Soit a Fangle de la droite variable D avec la normale au point ni(x^y) de la courbe donnée. L'équation de cette droite sera
(i) (Y —7) (tanga — 7') = (X — x) (i -f-j' tanga).
Une position de la droite variable, infiniment voisine de la première, détermine sur celle-ci un point limite (x dont les coordonnées X, Y satisfont à l'équation (i) et à la suivante
(2) (Y- j)(tanga-y')-f-n-/» = (X-.r) iy~ /'tanga) ,
y cos oc J
qu'on obtient en diiférentiant l'équation ( i ) par rapport à x.
^4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On déduit de là
cosa(sina — j'cosa) (i 4- j'*)
y. cosa(cosa -hj^'sina) (i -f-^'*)
et par suite,
, cosa(i -f- r")* 771 M =iiz i — - — .
Soit p le rayon de courbure de la courbe donnée ^ si l'on pose
(A) cosa(r+j^^)»
la quantité r, qu'on peut désigner sous le nom de rayon de courbure oblique, se réduit à p quand a est nul. L'équation (4) revient à celle-ci :
.^. cosa I dx
r p as
qu'il %st facile de démontrer géométriquement.
a** Pour trouver l'élément dS de la courbe lieu des points IX ^ on a. les équations
(8) (X— x)rfX-f-(Y— j)rfY = (X— .r)^-+-(Y-7)flrj + r^r, , , X — .r /fX Y— r dY
Or, des relations (3) mises sous la forme
^ cosa ûÇr — sin a dx
* , sinatfr -4- cosaolr
on lire
(11) (X-~x)d.r -h (Y — j)</j:^ rds sina.
En rapprochant les équations (8), (9) et (11), on est conduit à ce résultat simple :
(12) iiS = dr -h sin a dsj
qu'on trouve aussi par la Géométrie.
329. r étant la portion du rayon incident comprise entre les courbes  et G, si Ton applique à ces deux courbes la formule (6) du numéro précédent, on trouve
ces a I dot
et de même, /*, désignant la portion du rayon réfracté comprise entre les courbes Ai et G, on a
ces ai I dxi
n "^ p ds
D'ailleurs,
ces a daL=in cosoci dcnx^
(I cosa\ /i cosaA 1 = n cosa, ( I •
Gette formule générale a été démontrée par G. Lambert [Annales de Mathématiques, t. XX). Petit l'avait donnée pour le cas du cercle, dans la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, t. II.
Quand on suppose que la courbe A se réduit à un point, l'équation (12) du numéro précédent devient
dr -f- sin dds =2 o.
VtŒSHKT, — Recueil, 1^
Si la courbe Ai se réduit aussi à un point, on a de même
cfr, -h sin ai £iy = o ;
par suite,
dr sin a
a/*i sina,
d'où
r •=znrx'\' coDSt.
C'est Téquation* des oi^ales de Descartes ou lignes aplanétiques (Chasles, aperçu historique, etc., Note 21).
330- Prenons pour origine le sommet du parallélépipède qui appartient au tétraèdre, pour axes les arêtes qui passent en ce point ^ appelons a, i, c les longueurs interceptées sur ces arêtes à partir du sommet; Téquation du plan sera
abc
avec la condition
abc = m^ =. const.
L'enveloppe a pour équation
^ 27 331. On a l'équation
avec la condition
tf* -4- i^* z:^ c* = const.
Si ^ est un multiplicateur indéterminé, on trouve les relations
\a-\- X — <2 = o, Xt-f-/ — fc = o;
d'où
et par suite,
on déduit de là
C'est Téquation du tore, qu'on obtient également, comme on sait, en chercliant la surface engendrée par la révolution d'un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan.
332. X* -i- j>^* = /i*^;', équation du cône donné ^ Ix -h mj -i-nz = p^ équation du plan variable, dans laquelle /, /n, n sont les cosinus des angles qu'il fait avec les plans coordonnés, et p la distance de l'origine à ce plan-,
/ A J^P h{lx-^my\
sera l'équation de la courbe suivant laquelle se projette, sur le plan des xj^ l'intersection du cône et du plan. La valeur
de (x* -h j' )' = r fait voir que l'origine est un foyer de cette projection. Si l'on compare l'équation (1) avec l'équation
