On trouve
dx^dj-yc^jr " — 1) ,
équation toujours intégrable si n est entier. Pour w = 2, on a une cycloïde; pour w = i, un cercle. Lorsqu'on suppose n= — I , Téquation devient
dy ady €ix — rrz 9
d'où l'on tire
al f±£: -f±£'\
La courbe est donc une chaînette.
44o QOESTIOWS DIVERSES.
672. Prenons le point A pour pôle; le rayon de courbure en un point quelconque a pour expression, au moyen des coordonnées polaires [formule (c), p. 178],
en posant
dr
La condition du problème revient d'ailleurs à dire que la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est à ce rayon vecteur dans un rapport constant. Il en résulte Téquation
p^—rp£--ha{r^-hp') = o.
qui peut s écrire
pjrdp^p jr)^ r^^^^^
Elle devient
2 u du dr
= la — »
en faisant
par suite,
et enfin
r2«z=èî(n-«'),
df^-=z
Cette dernière formule intégrée (n° 411) donne
r«cos«{ô-- «) = ô (n» 626).
SOLUTIONS. 44 ï
673 • Ce problème se résout simplement en définissant la courbe, d'après Euler, par une équation entre le rayon de courbure p et l'angle cp que fait ce rayon avec une direction constante. Soit donc
l'équation de la courbe, cp étant Tangle du rayon de courbtire avec une droite donnée. Pour fixer les idées, nous supposerons que cette droite est l'axe des x. On voit sans peine
qu'on a
ds = p ddfj
et comme
dy
- = tang?.
dx-=^ds\\-\- -— j = p cosç d(f^ dy = psin(fdff.
Ces deux dernières équations feront connaître x et y en fonction de cp. D'ailleurs , si pi et cpi sont les coordonnées du point de la développée correspondant au point qui a p et cp pour coordonnées, on a
d(fi = d<f'f
et comme l'élément de la développée est égal à <ip, on a aussi
dp z=z p^ d(fi m p, d(f.
Si la développée est semblable à la courbe, n étant le rapport de similitude,
et par suite
-^ =z n d(Dy p = Ae"?. • P
Si Ton porte celte valeur de p dans celles de dx et de djr^ on obtient les équations intégrales
X — a = (sin© -+• /zcosv),
y—hzzz ^p^T^ {n sintp — cosy), en appelant a et b deux constantes arbitraires. Faisons
= tangO, -=:tang«,
il viendra
- ==Asin«e'*•^»^
sin® — cosœtanffw
tange=: -^ ^ 2~tangU— w);
sm y tang w -h CCS ^
et par conséquent
e = y — •), r = A sinwc»*"»*».
Cette dernière équation est celle d'une spirale logarithmique dans laquelle le rayon vecteur fait avec la tangente Tangle w.
