Soit

l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes* Celle de la normale au point [x^y) est

en posant

On en déduit, pour la distance p du centre à la normale,

d» ^ ou

Les racines de cette équation sont réelles, si Ton a (a) a-^p^h.

Cette condition remplie, l'équation (i) donne deux racines pour a?'. Désignant Tune d'elles par a:', l'autre par $*, on a

et, par suite, la relation demandée

Les deux points ainsi déterminés sont des points associés. La relation ( 3 ) peut s'écrire

ce qui montre que, si Tun des points parcourt le quart de l'ellipse en allant de l'extrémité du petit axe à celle du grand, l'autre parcourt le même are en sens inverse.

669. Si l'on désigne par x et '^ les abscisses des points associés m et |jt, on a les formules (n** 668)

(2) . a* — a^{a:^'hli')'{'e^Jc^V = o.

Soient 5 = B w l'arc d'ellipse qui part du sommet B du petit axe et qui aboutit au point variable m] a = A/x celui qui part du sommet A du grand axe et qui aboutit au point associé if.\ l'équation de l'ellipse fournit les deux suivantes :

ds == 4 / — dx. Jff =; — 4 / 1. dl.

D'ailleurs, on tire de l'équation (2)

I a}^l^ là' — x"

donc

Cl dx Ci ds = — -— 5 û?er = û?Ç,

, adx ad^

ds — d(r=z 1 ^

D'un autre c6té, les équations (i) donnent par la dîflFé-

rentiation

dx d^ pdp dp

d'où

ds — d(T •=. dp»

On en conclut

(3) 5, cÇ— ((T, — (t)=/>i — /?,

où Ton A

Si = B/w, > B/w, <r, = Api > Afi*

La relation (3) est précisément celle qu'il fallait démontrer.

Si l'on y fait x = o^ elle donne

B/72, = Api;

la proposition qu'exprime cette égalité est connue sous le

nom de théorème de Fagnano,

(Le Besgue.)

670, Soit - le rapport donné; on a

Différentiant et prenant^ pour variable indépendante, il vient

dx

Faisons -- = t et intégrons, il viendra

et enfin

Ce problème, le cas le plus simple des courbes de pour^ suite, revient au suivant : Un point mobile A parcourt une droite PQ avec une vitesse constante a ] il est poursuivi par un autre mobile B animé d'une vitesse b-^ on demande la courbe décrite par B, en supposant que la position initiale de ce point ne soit pas sur PQ.