partie de la suivante

qui est moindre elle-même que la somme

et cette dernière est aussi petite qu'on veut à cause le la convergence de la série (A). On établit absolument de même la convergence des séries (wj), ( a,), . . ., (m»). Cela posé, on a les équations

dans lesquelles p^*^^, p^*^, p^'"~*^ désignent des quantités aussi petites qu'on veut quand n est suffisamment grand.

On peut donc supposer chacune d'elles moindre que — *

« étant très-petit et m très-grand.

On a de même

Vo = «0 H- «0*^ -h ... -h «^0"*"*^ H- <T„

cliacune des quantités o* étant supposée plus petite que - • Il suit de là que les deux sommes

. H(o) H- H(0 4- . . . -H HC"-) , Vo -f- V, 4- . . . -h- V«. ont une différence qui tend vers zéro quand metn croissent

îndéfinîment ^ la limite de la première est donc aussi la limite de la seconde. c. q. f. d.

Dans le cas où les termes sont quelconques, et sous la condition énoncée, on voit que la valeur absolue de la somme u^^'*'^^ -f- u^^'^^^ -j- . . . -f- u^I^~^p^ est toujours moindre que la valeur absolue de la somme (B), inférieure ellemême à celle de ^expressio^

et Ton sait que cette dernière tend vers zéro, quel que soit p^ à mesure que m croit indéfiniment. De là résulte encore la convergence de la série (wo)^ et Ton arrive de la même manière à celle des séries («1), (wj),. . ., (w„). La démonstration s'achève comme dani le premier cas.

Le théorème subsiste évidemment lors même qu'on suppose quelques-unes des séries (C) ou (D) composées d'un nombre fini de termes. Chaque série de cette espèce peut en effet être considérée comme une série convergente indéfiniment prolongée, mais dans laquelle s'évanouissent tous les termes dont le rang surpasse un nombre donné.

Ce théorème important, dû à Cauchy ( /In al. algéb,^ p. 537), est utile dans la recherche du développement des fonctions en séries. [J^oir § VI.)