La tangente a pour équation
et les segments qu'elle détermine sur les axes à partir de
l'origine étant (a*j:)*, (û*^)% la somme de leurs carrés
est égale à la constante a*.
La courbe est nommée astroïde par quelques auteurs.
l5o CALCI;L DIFFÉREKTIEL.
233* Les abscisses des points de rencontre étant o, fl-f-/7z, a — m, il en résulte, pour les équations des tangentes correspondantes,
y =■ m[3m -{- iia)jc — 2m (m -+- û)', jr =. m[3m — 211) r 4- 2m [m — a)*.
Le point où la tangente à une courbe du troisième degré coupe la couibe est dit le point tangentiel du point de contact. Le premier de ces points que Ton considère ici a donc pour coordonnées
L'abscisse du second satisfait à Téquation suivante :
(i) m[3m -\- 2/i)jc — 2/1* (m -|-û)' = .r(x — a)';
mais il n'est pas nécessaire, pour l'obtenir, de résoudre cette équation. On sait, en eifet, que l'abscisse a + m du point de contact est racine double de (i ), et, comme le produit des racines est — 2m(a-f-w)*, en le divisant par (£Z-f-w)*, on a l'abscisse cherchée. On trouve ainsi pour le deuxième point, et semblablement pour le troisième, les coordonnées
X = — 2/W, ^ = — 2/?l(2/« -H a)% ar= 2/w, J^= 2m[2m — a)^.
On reconnaît immédiatement que ces trois points sont sitttés sur la droite
C'est là une vérification d'un théorème général démontré par Maclaurin, et qu'on peut éroncer ainsi : Quand trots points d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite, il en est de même de leurs points tangentiels.
234.. [Fig. i3.) Quand le cercle dont le centre esl O et dont le rayon est OB = b roule sans glisser sur la droite AX donnée de position, la courbe engendrée par un point M
Fig. i3.
de la circonférence est une cycloïde. Si Ton considère la ligne que décrit en même temps un point M' situé sur le. rayon variable OM, on la nomme cycloïde allongée ou cycloïde accourcie, selon que le. point décrivant est intérieur ou extérieur au cercle mobile.
Pour obtenir Téquation du lieu des positions de M', soient h la distance de ce point au centre du cercle, AX Taxe des x, A Torigine des axes et aussi le sommet de la cycloïde engendrée par le point M ^ si B désigne le point de contact de la circonférence avec Taxe des x pour une position donnée du point M', et cp Tangle variable M'OB, il vient
X = b(f — h sincp,
jr = b — h CCS ^ .
Le système de ces deux équations représente une cycloïde allongée ou accourcie, selon qu'on a h<^b ou h'^b. On en tire
xzzzb arc cos
-slh^-(b-yY.
Si la droite fixe est remplacée par un cercle, le point M <ïn gendre une épicycloïde, le point M' une épicycloïde
CALCUL DIFFÉHENTIEL.
allongée^ le point M^ une épicjcloïde accourcie. Dans le cas où le cercle mobile est intérieur au cercle fixe, les lieux des points M, M', M'' sont des hjpocjcloïdes.
Pour trouver l'équation de Tune de ces courbes, par exemple celle du lieu que décrit le point M (fig- i4) posons CB==a, OB==i, OM = A, CN=x, MN = j
Fig. i4.
ACB = Z •, si l'on admet qu'à l'origine du mouvement les points A et Q étaient confondus, on aura
et
QOB=-.
X = CH -f- HN = ( a -h 6 ) cos / — A ces ^^-^ t ,
Le système (B) représente une épicycloïde allongée ou accourcie, selon qu'on a A<è ou /z > i. Il tient lieu d'une équation unique qui résulterait de Félimination de ^, et qui serait, en général, moins commode pour les calculs, surtout si le nombre ^-j- = n était irrationnel. On peut
SOLUTIONS. i53
d'ailleurs, dans tous les cas, obtenir cette équation. On déduit en effet des é(}uations (B)
bn CCS t =zx-^ h co&nt , 6/1 sin / =^ -4- ^ sin « ^ , h cos/i t z= bn ces t — a: , hsmnt=zbnsmt — y; d'où Ton tire
6*/î*z=: jr*-4-^*-f- h} -V- ih[xco^nt H-jsin/i^}, /i' = a:* -h ^» 4- b^rO — ibn [x cos t 4- / sin f ) ,
ou bien
r cosnt -4- ^ sin « / =: 7 z=zp ,
X cosr -f- r sm ^ = ; = a ;
et par suite, en remplaçant les fonctions trigonométriques par leurs formes imaginaires,
[x — iy) é^"»' — 2/?^'"' + (ar -4- /^) =0, (x — iy)e*^' — 2^^*' H- (x H- /j^) = 0.
On conclut de là
^ — ; 9 er — ■ ; ,
X — IX X— ly
par conséquent,
ce qui est Téquation cherchée, en y supposant pel q remplacés par leurs valeurs connues en x et en j^ et qui ne peut être rendue rationnelle qu'autant que le nombre n est lui-même rationnel.
l54 CALCUL DIFFÉREKÏIEL.
On voit facilement que le système (B) se met aussi sous la forme, quelquefois utile,
L*liypocycloïde allongée ou accoiu*cîe est représentée par le
système
a — b x= {a — 6)cos^ -f- Acos — - — /,
X z=:z[a — b) siJït — h sm — - — t ,
tout à fait analogue au système (6), et qui s'en déduit en remplaçant dans celui-ci b par — b eX. h par — A. Il suflSt donc de considérer les équations (B) pour embrasser tous les cas.
En faisant A = i , on obtient les équations suivantes pour représenter les épicycloïdes et les hypocycloïdes :
/ IV t a -\- b
x=z\a-\- 6) ces/ — 6cos — -^ — /,
j = (/z -h b)cost — b sm — 7 — t .
La détermination de la tangente au point xj de la courbe
dy définie par les équations (B) exige la connaissance de -r-*
Or on a
dx a -\- b I , , . a -h b ^
-r- = ; — [ bsmt — n sm — ; — t
dt
d'où
dr a -^ b [ ^ , a -^ b '
-7- = ; ( b CCS t — h CCS — : — /
dt b
r a^ b ^ b CCS t — h ces — ; — ^ dy b
dx , ; a -\- b
bs\n t — à sm — ; — t
SOLUTIONS. l55
Ce résultat, qui suffi t. à la détermination analytique de la tangente, ne met pas en évidence une construction géométrique simple 5 mais, si Ton cherche Téquation de la normale, on trouve
Y — (fl -h ^) sin ^ -4- A sin — - — / ( 6 ces r — Acos — - — t j = j X — [a -k- b) cost -\- h cos — ^— r f ( ô sin ^ — A sin — 7 — t j ,
et l'on voit manifestement, sous cette forme, qu'en faisant Y=asin? et X=acos£ Téquation est satisfaite. Or le point dont les coordonnées sont a sint et a cos t n'est autre que le point de contact du cercle mobile et du cercle fixe, d'où résulte une construction immédiate de la normale tout à fait semblable à celle que l'on connaît pour la cycloïde. 11 est évident que cette construction s'applique également aux courbes (A). Elle est d'ailleurs susceptible d'une grande généralisation (n® 244-).
La théorie des épicycloïdes est née d'un problème industriel. C'est en cherchant la meilleure forme à donner aux dents d'un engrenage que l'astronome danois Rômer y fut conduit en 1674. Plus tard (1694)? de la Hire publia sur ces courbes un travail étendu, et plusieurs autres géomètres, notamment Halley [Transact, phil.)^ Newton [Princip.) et Euler [Introd, in AnaL infinit.) ^ en ont étudié les propriétés.
Descartes s'est occupé le premier des cycloïdes allongées et des cycloïdes accourcies; il en a déterminé les tangentes.
Parmi les courbes représentées par les équations (B), on remarque certains cas particuliers :
1° h=zb = — -J' Au moyen des relations connues cos3^ = 4^^^'' ~" 3cosf , sin3/ =: 3sin^ — /{sin^tn
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les équations (6) se réduisent à
x=:a cos' / , y =^€i siD* / > d*où
et en développant,
Cette courbe se rencontre dans plusieurs questions (n^ 232), 2** i = On trouve une ellipse dont Téquation est
3° b =:Ji = a. On a, dans cette hypothèse, X — az=: 2acosr(i — cosr), y =:'i.asmt[\ — ces/).
Prenant des coordonnées polaires définies par les équations
X — a'=.r ces ô , ^ = r sinô ,
il vient immédiatement pour l'équation de la courbe
' rrr: 2o(l — COS©)^
C'est une des caustiques du cercle, le point lumineux étant sur la circonférence. On l'obtient aussi en projetant sur toutes les tangentes au cercle de rayon 2 a un point donné de la circonférence (n®235). A cause de sa forme, cette courbe a été nommée cardioïde [Transact, phiL, I74ï)»
4<> b = h= -' Les équations (B) deviennent ici
j=2«sinV, x = 3acost — 2flcos*/.
On en tire
y^ '-\' X* z= ^a* — 3a^ cosU = a» -f- 3a»sin*f,
SOLTJTIOIYS. l57
<:t par suite
5® h = h = • Le lieu est un diamètre du cercle fixe,
résultat facile à voir par la Géométrie.
235. 5oit A Torigine ^es axes. Si Ton désigne par x et y les coordonnées du point m, par a et 6 celles du point [i^
€t par C le milieu de tw A^ on a évidemment
«2-^- gî — a^ — gj- =: O,
Les droites A[jl et mfjL étant perpendiculaires, l'exprès* sion adx -f- 6 Jy est nulle, et il en résulte
doL X — a 6
ce qui démontre la proposition.
Un théorème analogue existe pour les surfaces podaireSm
236. Les coordonnées d'un point a, S de la podaire correspondant au point or, y de la courbe satisfont aux équations
ax"""' 6/"-' x"~* y
û" b"" ^ a^oL Z>"6
Éliminant x etj entre les équations (i) et (2), il vient
Cette équation résout la question des podaires pour l'ellipse, Thyperbole, les développées de ces courbes, Tastroïde (n«»232), etc. .
237. {Fig. i5.) Soient AB, BC, CD trois côtés consécutifs du polynôme minimum, et prenons pour origine le point E, où. se rencontrent AB et CD 5 la tangente BG doit
l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
être telle que le triangle ECB soît maximum. Déterminons
le point de contact M par cette condition. On a
dy dx
EC=r — «^3^» EB=r — j —
dx dy
et
,CBE=-(r-x|)'JsinE.
Pour le maximum on trouve, en différentiant,
d^r dx [ dy\ 1 dx \
dx^ df\ 'dx) \ -^ dy ) '
et, en égalant à zéro le dernier facteur du premier membre de cette équation, il vient
1 / dx\ I ^^
j;=-Lf— r--) = -EB,
2 V -^ dy) a '
ce qui montre que le côté CB est partagé en deux parties égales par le point de contact. La même chose a donc lieu par tous les côtés du polygone cherché.
238. Soient n le nombre des points mi, ttzs, /ti^,...; j:^, y^, les coordonnées de m^-, Ç, 19 celles du point /[z^ on a
^[{Ç-*-^/')'^- (>î+r^)'] = const..
SOLUTIONS. iSg
et en differentiant, toutes les quantités variables pouvant être considérées comme fonctions de Tune d*entre elles,
( I ) 2.[(Ç - .Tp) d^-h{7i --Xp) ^>î ] = 2 [(Ç - Xj,) dxp -4- [-il —Xp) dyp\.
Or
(Ç — Xp)dXp-^ [fi —yp)dfp = o,
puisque chaque normale passe par le point fji. On peut donc écrire Téquation (i) sous la forme
c?Ç(/2?— ^Xp) -+-dn(n-n — Ijp) =0, ou
c'est-à-dire que la normale au lieu des points fx passe par le point qui a pour coordonnées — -j — -•
239. L'origine étant au point A et la direction de la corde étant prise pour celle de Taxe des a:, il faut chercher le maximum de l'expression
^x^ H- j' -+- ^(a—xy-hx^-
Si Ton égale à zéro la différentielle de cette quantité, dans laquelle j" est une fonction donnée de x^ il vient
dx dx
^x'-hj» sj[a — xY -\- y"^
Soit N le point où la normale en M rencontre la corde AB-, l'équation (1) revient à
AW __ BN AM ~" BM '
c'est-à-dire que la tangente au point M est également inclinée sur AM et sur BM.
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Solution géométrique, — La position du point M étant supposée connue, soit M' un point infiniment voisin. L'accroissement de la distance AM est égal à MM'sinMM'A; la diminution de MB est MM' sinBMM'5 d'où résulte, pour Taccroissement infiniment petit de la somme ÂM + MB, la quantité MM'(sinMM'A — sinBMM'). Or, en vertu de la théorie du maximum des fonctions d'une variable, cet accroissement doit être un infiniment petit d'ordre supérieur au premier; on a donc
lim(sinMM'A — sinBMM') = 0, ce qui donne le résultat déjà obtenu.
