Soient

les équations des trois courbes; x^ y^ Xi, j^i, Xt, y\ les coordonnées des points m, mi, m, pris sur ces courbes et formant le triangle mm^rrix^ dont la surface A s'exprime par la formule

Comme A dépend de trois variables indépendantes x, .Ti , j*!, la condition du maximum donne les trois équations

Ces résultats expriment que la normale en chaque sommet est perpendiculaire à la droite qui joint les deux autres; les

SOLUTIONS. l6l

normales aux courbes données se rencontrent donc en un même point.

Dans le cas particulier énoncé, — -f- — = i étant Téqua-

lion de Tellipse, on a

X, .ra — xxy ^ j,72 — XTi

*t^'*^2 — X\ X'i jry^ J\J2

Comme la dernière équation résulte des deux premières, le problème n'est pas déterminé. Pour le déterminer, concevons que le point m soit donné et rapportons la courbe à deux diamètres conjugués. L'équation de l'ellipse peut

s'écrire

le point m étant l'extrémité du demi-diamètre a, . On trouve

alors

f, — jc, = o, x^[xi — ax) -f- \l a\ — x\ yj a\ — x\z=iQy

d'où

Il faut évidemment prendre y^ et j^ de signes contraires. D'ailleurs, à cause de l'obliquité des axes coordonnés, la surface est égale au second membre de l'équation (i) multiplié par sinO, étant l'angle des axes. L'aire maximum du triangle a donc pour expression

^-^«, 6, smôz= .î— ^ — .

FcE?fET. -> Recueil. 1 1

iGa CALCUL DIFFÉaENTIEL.

241. L'équalîon de l'ellipse étant la normale au point a:, y a pour équation

et si Ton désigne par x, , j^ les coordonnées du point où cette ligne rencontre obliquement la courbe, Texpression dont on cherche le maximum ou le minimum est

(i) [x,^xY^{x,--yy=:l\

avec les conditions

(4) «'JÎ+ b^^]z=a^bK

Des relations (3) et (4) on déduit celle-ci : Les équations (i) et (2) donnent d'ailleurs

Xi — .r Xi— y ^^

En portant ces valeurs dans (5), on en tire

^ 4(«*J' + b^JC^f __ 4^'(«* — ^'^')*

Si Ton égale à zéro la différentielle de ce résultat, on trouve les deux solutions

(6) X=Oy

SDLL'TIOKS. l63

La dernière, combinée avec Téquation (3), donne

Les relations (7) et (8) définissent quatre points symétriquement situés par rapport aux axes et répondant à des longueurs minima, pourvu toutefois qu'on ait a} — ai'^o. En effet, les extrémités du grand axe répondent évidemment à des maxima, et Ton ne peut passer de Tun à Tautre sans rencontrer au moins un minimum; la symétrie de la courbe en doit d'ailleurs fournir au moins deux de chaque côté du grand axe. Il suit de là que la solution j: = o correspond à un maximum.

Les résultats changent si Ton a a* — ib^<^o\ les quatre minima n'existent plus, et la solution x=o répond alors à un minimum. On s'assure facilement de cette dernière circonstance en m^ettant /' sous la forme

Si Ton développe le second membre, en supposant x aussi petit qu'on veut, on trouve

l^=Ab^-^ " — - — 2^»— a» -4-...,

ce qui démontre que l'extrémité du petit axe répond à un maximum quand on a 2 i' — a' <^ o, et à un minimum dans le cas contraire.

La règle ordinaire pour la recherche des maxima et des minima àe f[x) n'a pas donné les solutions maxima répondant aux extrémités ^u grand axe. Cela tient à ce que, dans la question présente, on ne peut comparer hf{a) les deux expressions /"(a -h /i), /(^t — A), h étant

l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

un infiniment petit positif, vu qu'il n*y a pas de points de l'ellipse dont Tabscisse surpasse a.

Remarque. — Si Ton cherclie les valeurs de Xi, > i dans Thypothèse a} — ai* ^ o, on trouve

et ces coordonnées satisfont à Téquation de la développée de Tellipse

(O. Bonnet.)