Il suffit de considérer les points de la courbe donnée

pour lesquels nO n'excède pas -• Soient r et 6 les coor-

données d*un point m pris sur cette courbe; rj et 6i celles du point correspondant de la podaire; çj'angle que la tangente en m fait avec le rayon vecteur. On a

tangç = --— = — cotwQ.

ar

Il résulte généralement de là

ff = nB h /tt,

k étant un entier quelconque. D'ailleurs, en supposant n positif, 9 représente un angle obtus, et Ton trouve facilement la relation

Il suit de là qu'il faut prendre * = i , ce qui donne et par suite

SOLUTIONS. l65

cos nO =z cos •

D'un aulre côté,

^, = 7sincp = rcosnO; d'où

Tl^' = ar^' cos 0.,

équation de même forme que la proposée. Le résultat n'eût pas été différent si l'on avait supposé n négatif.

243. Concevons la courbe rapportée à des axes rectangulaires ox^ oj^ dont l'origine soit située, par rapport aux droites A et B, du même côté que le point m. Si Ton désigne par p la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur A, par a et 6 les angles de cette perpendiculaire avec l'axe des x et l'axe des j^ la distance de m à A aura pour expression

p — pc cos a — y cos6.

Semblablement, la distance de ce point à B peut s'écrire

Les coordonnées des points P et Q étant respectivement a et i, «1 et ^2, on a

P/72 — slï^— ay -f- (j — b)\ Qm = ^/(^ — «,)=» + (j — b.y.

L'équation de la normale est d'ailleurs

df du df d^ ôfdu ^^' du ô.r dv ôx du àf dv df

et comme on a dans tous les cas

du , du , .

dx dy

ï66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

j^ = '- cos(fS .r), ^ = — ^^^("^ y )'

en désignant généralement par (D, Dj) Tangle des directions des droites représentées par D et Dj, Téquation de la normale prend alors la forme

-r- C0S(W, .r) H- -■- COS(<', X) -f. COSfl/,/) -f- -r- COS(r,^)

OU OV Ou Ôv

qui n'est autre chose que l'expression analytique du théorème énoncé.

244. Rapportons la courbe B à des axes rectangulaires. Soient t'mt la tangente commune à A et B; x, j^ les coordonnées du point de contact m; ^, y] celles du point /z. La longueur fzm = r et l'angle de sa direction avec une droite quelconque, invariablement liée à A, constituent un système de coordonnées polaires auquel on peut concevoir que sont rapportés les points de cette courbe. Cela posé, de l'équation évidente

on tire par la diflérentiation

ds r ds

dj jr-^n dnX ds r ds )

ds représentant l'élément de la courbe B. Or l'ang]

formé par le rayon vecteur ju m et la direction mlfà

dr . . / 1 X ^ — ç, dx

cosinus -7- : ce cosinus est aussi égal a

ds ^ r

L'équation (i) se réduit donc à

Y — >i dfi X. — \ d\

ce qui démontre le théorème énoncé.

SOLtlTIOMS. 167

2'»5. 1° Les coorduunéei x tiij ilu point ic coiitacl m de la tangente représentée par (1) ne sont autres que les valeurs limites des coordonnées du point de rencontre de cette tangente avec la tangente voisine, dont l'équation est

(n -l-i<j)X + (* -(-ié)Y + c + ic-=Oi

c'est-à-dire qu'on a

l68 CALCUL DirFÉREJSTlEL.

esl du degré //,.car, en substituant ces valeurs de x et dej dans l'équation ax-h £j= c d'une droite quelconque, il en résulte une équation du degré n en t dont les racines déterminent les coordonnées de n points (réels ou imaginaires) où la droite rencontre la courbe.

Remarque. — Le système (U) définit des courbes algébriques auxquelles M. Cayley a donné le nom d'wwicursaleSy et qui jouissent de propriétés importantes étudiées par d'émincnts géomètres contemporains. M. Hermite, en particulier, leur a consacré, dans son Cours d'jdnalyse, quelques pages très-intéressantes et des plus instructives.

On ramène facilement les coordonnées x elj au type (U) quand elles sont données par des fonctions rationnelles d'un nombre quelconque de sinus et de cosinus, pourvu que tous les arcs soient des multiples d'un même arc «. 11 suffit d'exprimer les lignes trigonométrîques en fonction de la

variable t définie par la relation tang - ^ /.

L'équation ^{x^y) z:^^(^x^y)^ où y et 4* désignent des fonctions entières homogènes dont les degrés diffèrent d'une unité, représente une courbe unicursale, comme on le voit en y faisant / = tx.

Il en est de même de l'équation

si f est homogène du degré m et p^ homogène du degré m — 2. On le reconnaît en posant d'abord y=ztx^ puis, pour faire disparaître l'irrationnelle (n® 140),

1 — 9' La courbe gauche représentée par les équations

ABC est dite aussi unicursale si A, B, C, D sont des fonctions

entières du degré n en t. .Le degré d'une courbe gauche étant le nombre des points (réels ou imaginaires) où elle est coupée par un plan quelconque, on voit, en raisonnant comme pour les unicursales planes, que la courbe considérée est du degré n.

§ XU. — Points singuliers, — Construction de courbes.

point d'inflexion.