Fig, 32.) Asymptotes : j? = -» j^ = — p
A l'origine, rebroussement de première espèce. Quatre points d'inflexion, dont deux situés sur l'axe des x.
259. La courbe a trois points d'inflexion, l'un à l'origine, les autres aux points dont les coordonnées satisfont aux équations
.r' y/i2f\/3 — i) jr
Les trois points, coaime on voit, sont situés sur la droite représentée par la seconde des équations (i). C'est là une application de ce théorème général, dû à Maclaurin : Quand une courbe du troisième degré a trois points d'inflexion réels (ce qui est le plus grand nombre quelle en puisse avoir) ^ ces points sont en ligne droite,
{^Voir Briot, Complément de Géométrie analytique,)
Fig. 23.
260. (Pig* 23.) En substituant des coordonnées polaires aux coordonnées rectilignes, Téquation est résoluble par rapport au rayon vecteur. On la discute d'ailleurs.^ sans changer de coordonnées, en prenant une inconnue auxi-
liaire t= -5 ce qui donne
L'origîne est un point trîple, un point d'inflexion et un point de rebroussement. Les points de la portion fermée de
la courbe qui sont les plus éloignés de Taxe des x et des y ont respectivement pour coordonnées
L'examen de la dérivée exprimée en fonction de t faîl connaître l'existence d'un point d'inflexion sur la branche infinie située à droite de Taxe des j^.
261» La courbe a une infinité de points doubles, pour les-
quels -j-=^± (/rTr)% h recevant toutes les valeurs entières
positives. Elle a aussi une infinité de points isolés.
262. Lorsque les courbes sont représentées par des équations en coordonnées polaires, on trouve généralement les points d'inflexion en posant [formule (fe), p. 178]
dr'- dr
r^ -\- 1 -r— — r --- z= o ou dr d'i^
ce .
SOLUTIONS. ÏJ"^
Il est quelquefois avantageux de remplacer cette condition par celle-ci, qui lui est équivalente :
/ « X du d^u
u étant l'inverse du rayon vecteur.
Pour la courbe dont il s'agit ici, la condition indiquée
donne
Celte courbe, cas particulier des spirales dont Téquation est /•= a0", a été désignée par Cotes sous le nom de Lituus {^Harmonia mensurarum),
263. L'équation (A) ou l'équation (B) du numéro précédent devient ici
h cos*0 4- 3a cos'G — ia:=i o^
ou, en posant — - =: z,
ces 9
(i) 2flz' — Zaz — ^ =z o.
Si Ton a a^A, les trois racines de l'équation (i) sont réelles, mais Tune d'elles ne satisfait pas à la condition — I <; cos0<^ I.
Si a<^b^ deux racines sont imaginaires. Il en résulte que la conclioïde a quatre points d'inflexion quand a est plus grand que i, et deux seulement quand a est plus petit que b.
Il y a également deux points d'inflexion si a=zb.
La concboïde peut se construire de la manière suivante : d'un point fixe A on mène un rayon vecteur quelconque indéfini qui rencontre en B une droite XX' dont la position
CALCT3L DIFFÉRENTIEL.
est invariable. A partir de B, on porte sur le rayon vecteur, et dans les deux sens, des longueurs BM, BN égales à une ligne donnée a\ la conchoïde est le lieu décrit par les points M et N, quand on suppose que le rayon vecteur tourne autour du point A.
Cette courbe fut imaginée par le géomètre Nicomède (environ i5o ans avant J.-C.) pour résoudre les deux problèmes, si célèbres chez les anciens, de la duplication du cube et de la trisection de Tangle. Newton en a fait usage pour la construction des équations du troisième degré [^arithmétique unii^erselle) ^ et les architectes Vîgnole et Blondel Tout utilisée pour le tracé des fûts de colonne {Cours d'architecture, par d'Aviler). On peut substituer
à la base XX' une ligne quelconque, et Ton obtient alors des conchoïdes d'ordre supérieur. Dans le cas où Ton
prend un cercle et où le point A est sur la circonférence, on trouve le limaçon de Pascal (n° 479). De La Hire adonné, dans les Mémoires de V académie des Sciences (année 1708), un long travail sur les conchoïdes à base quelconque.
