CHAPITRE PREMIER
Notions préliminaires.
Définitions.
1- Former la carte d’un pays de peu d’étendue, c’est construire sur le papier une figure semblable à celle du terrain dont les différentes parties sont supposées être projetées sur un plan horizontal par des perpendiculaires abaissées de tous les objets sur ce plan. Le procédé qu’on emploie a cet effet , exige le fréquent usage d’une échelle.
On entend par échelle d’une carte ou d’un plan, une ligne droite peu étendue , et dont les plus petites parties égales représentent chacune l’unité de mesure linéaire; par exemple, le mètre ou la toise, ou un multiple de l’une de
a TRIGONOMÉTRIE.
ces unités. Cette échelle sert à fixer, à l’aicle d’un compas, la longueur à laquelle se réduit sur un plan une distance horizontale quelconque évaluée en métrés : alors cette distance est à sa réduction ou projection dans un rapport donné. Si , par exemple , ce rapport était celui de 1 oooo à i , le plan serait construit à l’échelle du dix-millième ; c’est-àdire qu’une longueur réelle de 10000 mètres ne serait re présentée sur le plan que par celle d’un mètre.
On nomme carte topographique, le dessin qui représente, dans leur situation respective, tous les détails d’une contrée ou d’un grand domaine. Quant aux cartes embrassant beaucoup d’étendue de pays, et n’en offrant que les objets les plus remarquables, on les appelle cartes géographiques.
Pour déterminer les positions respectives des principaux points d’un plan ou d’une carte topographique , il faut considérer ces points comme les sommets des angles des triangles qui , par leur enchaînement , forment un réseau continu dans tous les sens. Ces triangles réunissent les conditions les plus avantageuses lorsqu’ils sont les plus grands possibles , qu’ils approchent le plus de la forme équilatérale , et qu’ils sont liés au moins à une ligne principale ou base. Lorsque cette base et les trois angles de chaque triangle sont mesurés, on a tous les élémens nécessaires pour calculer de proche en proche les distances entre les objets; et alors on a le canevas du plan. C’est en cela que consistent les opérations gèodésiques.
Si nous devions nous borner dans cet Ouvrage, à indiquer la marche de ces calculs, nous serions dispensé de donner un résumé des formules trigonométriques les plus remarquables; mais comme ces formules jouent un rôle très important dans les applications de l’Analyse aux diverses branches des Mathématiques, et que la plupart nous seront utiles par la suite, nous les rappellerons en peu de mots. On en trouvera les démonstrations dans le Traité de
Trigonométrie de M. Legendre, faisant suite à sa Géométrie; .U ,,^s ce^u‘ M. Lacroix, qui précède son application e gel^e a la Géométrie ; ou enfin au 2* livre de notre raite de Géodésie j a° édition.
Résumé des Formules trigonométriques.
Fonctions circulaires.
2- Soient p et q deux arcs quelconques d’un cercle dont le rayon est pris pour unité, on aura
Jîn’f î ***** Z. 1 ’ Sm (P±9) — sinp co sq± cos psinq, q cos q i , cos(/j±gr) = cos/>cosÿ^:sin p siny j
desquelles on tire aisément celles-ci par voie d’addition et de soustraction , un ec
2 ™ p COS q = si„ (p + J ) + siQ ( - .
*coSpS1„î=sin(/) + î)sin0)ï 2 C0S? ™9=coS(p+9) + cos ( l a«inpsinî = oos(p s,)cos(/)+ y ou bien
2 "“ï (P + ?)C0S* (f — y) ,inp + s;n
2 cos ï (p + 1 ) „„ i (p q ) sin p .
2c“s‘(/’+î)cosj (/> — y)=c°s/, + cosÿ,
2sm-.(p+q)smi(p-ll-)=ZC0Sp C0Sî S' l’on fait î = onaura
^»in p cos mp = sin (m + , ) ^ sin (m , . 2«^,nm/) = sin(m+l)/) + sin(m i ^
2 oosp cos mp = «.s („ + l)p + „ (m „ *
Up sin /rc/? = cos [m — i) p — C0S {m + x) p. y contraire , on suppose q = p on aura , en vertu
des premières formules ci-dessus,
sin 2 p a sin p cos p , cos p— : i — a sin* £ p f cos 2 p=z cos* p — sin*/? , cos p 2 cos* %p — i .
4 tbigonomÉthh
On a, en outre, ces relations,
sm p
tang p = - ,
^ cos p
cot p = - - =
tang p
coséc p =
cos p
Py
9^c P cos p ’ r sin p '
et, par une combinaison binaire des arcs p, q, on ob tiendra *
. . v sin (p ±1 q) tang p ± tang g
tang (p — q ) — cos ^ y ^ tangp tangy’
tangp :
sin (p±q )
; tang g ~ - -- - — ,
a 3 cospcosg
, sin (p rh q)
cot P ifc cot q = it — : - ; - ,
P * sin p sin g
tang*p — lanBaî
sin (p +q*) sin(p — g )
cos ap cos “y
sin(p + 5-) sin fp— ^r) — cota 7 - - -
cot2 p — cot* g
sin “p sin* y
sin p -f- sin g tang i (p + g)
sin p — sin g tang ^ (/> — q ) *
cos p + cos q __ cotj (p — g) sécp -f- sec g
cos p — cos y tang^Cp + y) sécp — sécg*
tang 5 (p±?),
cos p -j- cos sin p ± sin 7 cos p — cos ^
= — c«tï (p + qh
, sin p
tang ïp = — - - ,
