f- cos p
cot 5 p
sin p
1 — cos p
tang p
sin p = - — - — r, cos p -
V' i+tang*p
V/ i-|-tang*p‘
En général , si iQ désigne le quadrant, on a sin (iQ±:p) = + cosp, cos (iQ=hp) =zpsinp, sin (aQ±p) = hP sinp, cos ( aQ ±p) = — cosp , sin(3Q±p) = — cosp, cos (3Q±p) = zt sinp, sin (4Q ±p) = ± sin p, cos (4*3 dtp) = + cosp.
Propriétés du Triangle rectiligne.
3. En représentant généralement par a , b, c, les côtés 1 un triangle rectiligne quelconque , et par A , B , C , les angles qui sont respectivement opposés à ces côtés , on aura ces relations ,
°a — b* -f- cft — 2 bc cos A ,
= -+■ ca — lac cos B ,
^ c“ == -f- b* — 2 ab cos C ;
c’est-à-dire que le carré cfun côté est égal à lu somme des carrés des deux autres côtés , moins deux fois le produit de ces memes côtés. , multiplié par le cosinus de V angle qu'ils forment entre eux ; en supposant toutefois le rayon des tables égal a l’unité , et l’angle aigu.
n existe en outre entre les cosinus des trois angles de ce triangle cette relation, b
i - cosa A — cos2B — cosaC — 2 cos A cos B cos C = o ; laquelle provient de ce que A -f- B -f- C = 2**.
Lorsque le triangle est rectangle , l’angle A , par exemple, est droit, et le côté opposé a est l’hypoténuse; alors, à cause de cos A = 0) on a
puis lorsqu’on ajoute respectivement aux deux membres es eux dermeres équations précédentes , c\ 6®, il vient, apres les réductions,
c = a cos B = a sin C, et par suite, * = a cos D = a sin B ;
& cos€
c~S5ÎB = ta»gB-
Désignons maintenant par T l’aire du triangle ABC : on
aura ces diverses expressions,
T=i6csinA, T = -. i-nB •
2 sin ( A B) 7
mais a cause de
«a : b* : c* :: sinaA : sin‘B : sins(A + B),
on a
<r“ — 4* : c* :: sin’A — sin’B ; jin‘(A + B);
d’oi, c* = + .
sin® A — sinaB 7
par conséquent,
T = i (aa — b%) 3*n A s*n B sin (A 4- B) sinaA — sin^B 7
et puisque sinaA — sinaB = sin ( A -f B ) sin ( A — B ) , on a définitivement
x i(^M)jinAsmB ‘ ^ ' sin (A — B)'
Cette expression se présente sous la forme indéterminée, lorsque a =b , parce qu’alors A = B , et sin (A — B) = o • mais dans ce cas , la 2e valeur de T devient
T= - sîn‘A __ casinaA __ ca
2 sin 2A ~ 4 sin A cos ~ f tang A*
On a encore , en désignant par p le demi-périmètre du triangle ,
c’est-a-dire que faire dJun triangle rectiligne est égale à la racine carrée du produit quJon obtient en multipliant le demi-périmètre par Us trois excès de ce demi-périmètre sur chacun des côtés.
Représentons maintenant par R et r les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle a,b>C- on aura
La seconde formule se vérifie à la seule inspection de la
t . «fc?
la ligure , lorsque l’on mène par le centre du cercle inscrit des droites aux trois sommets du triangle ; et la première formule s’obtient sans difficulté , en remarquant d’abord 1 on a T = ~ bc sin A , et que si par le sommet B du triangle inscrit, l’on mène un diamètre BA' = 2R, le triangle inscrit CA'B , qui sera essentiellement rectangle
enC, donnera sin A' = — — ; or, A' = A, puisque ces deux angles inscrits sont appuyés sur la même corde a;
donc T • —
abc
Propriétés du Triangle sphérique.
4- Si , comme pour le triangle rectiligne , les côtés d’un triangle sphérique quelconque sont désignés par a, 6, c, et que les angles opposés le soient par A , B , C ; on aura, en supposant le rayon des tables égal à l’unité ,
cos a — cos b cos c -+~ sin b sin c cos A, cos b = cos a cos c -f- sin a sin c cos B, cos c = cos a cos b -f sin a sin b cos C;
formules qui donneraient un côté en fonction des deux autres et de l’angle qu’ils comprennent. Celles-ci, combinées entre elles d’une manière convenable , conduisent à ces trois autres ,
cos A = — cos B cos C -J- sin B sin C cos a,
cos B = — cos A cos C -}- sin A sin C cos b ,
008 C = — cos A cos B -f- sin A sin B cos c ,
lesquelles feraient connaître un angle au moyen des deux
autres et du côté compris.
Lorsque le triangle sphérique est rectangle , on a , par
exemple, A = ainsi le cosinus de l’hypoténuse a pour valeur
cos a = cos b cos c.
Dans la même hypothèse, sin b = sîn a sin B , cos B ==
tang a
. „ tang b
sin c = sin a sin C, cos L = - - — ,
tanga
, „ A ^ , cos B
cos a = cot B cot L , cos b = — — — , sin C
tang B = tang C =
tang b sin c * tang c sin b cos C
sin B
Dans le cas général , si S désigne l’aire d’un triangle sphérique , on a
expression qui suppose que le quadrant est pris pour unité de mesure des angles A, B, C, et que le triangle tri-rectangle ou le quart d’un hémisphère est pris pour unité de surface. Pour avoir l’aire T d’un triangle en mesures carrées , soient f le rayon de la sphère à laquelle ce triangle appartient, et tt le rapport de la circonférence au diamètre ; on aura
