T=;VI

formule dans laquelle 2 doit être un nombre abstrait par exemple, si 2 était donné en degrés, il faudrait remplacer ce facteur par — , parce qu’alors iQ = 90°.

La valeur de 2 est susceptible de différentes formes rationnelles et irrationnelles j savoir,

• , „ sin J a sin ^ b sin C

sin y 2 = - - - 1 -

COS i c

\/ sin s sin (.s — a) sin (.s — b) sin (s — c) 2 cos ï a cos { b cos j c cos ~ a cos { b «4- sin ? a sin \b cos C cos j c

cosa •; a -f- cosa j b -f- cosa c — 1 2 cos ^ a cos â b cos c ’ tang { a tang ^ b sin C 1 -f- tang 'i a tang ~ b cos C ’

tang^S =

enfin ,

tangi2=^/^tangjtang(~)taiig(^)tang(^)^i

formules dans lesquelles on a 2s- = a -f- b -f- c = double du périmètre du triangle.

Si R. et r sont les rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC, on a

tang R. = 4 sin ^ a sin j b sin- c

V 1 cosaa cos *b — cosac -f- 2 cos a cos b cosc

tang { a tanp, { b tang i c

sin ^ 2 ~ *

tang rz= V'sm (s — a) sin ( s — b) sin (.9 — c)

1/ sin s

2 sin { 2 cos i a cos j b cos ^ c

sin s

Revenons maintenant à notre objet, et, pour cela, donnons une idée des instrumens qui servent pour mesurer les angles sur le terrain.

Description du Graphomètre.

»armLl graPWtre> 1“ n’est plu, guère en usage que en r S oGS arPenteurs> est «n demi-cercle de cuivre divisé divisé° T en2°°’r' 9iac*ue de8ré ou grade est lui-même du din^ü' *GU j °U P^us^eurs Parties égales , selon la grandeur La -rC de 06 demi'cercle-

se nom ft*e.C^cu^a’re sur ^quelle sont tracées les divisions t 1,6 -C ^m^e' ^“es graphomètres ordinaires portent r ». eirutés du diamètre fixe deux pinnules ou petites es au travers desquelles on regarde les objets. Chaque } nue, qui doit être exactement perpendiculaire au limbe , eut ue par le haut et ouverte par le bas, ou réciproquect e milieu de l’ouverture est traversé dans le sens sa ongueur par une soie ou par un crin. Lorsqu’on vise

IO

à un objet l’on a soin de mettre près de l’œil la fente d’une pinnule par laquelle on regarde si le fil correspondant couvre cet objet.

La règle mobile , que l’on nomme alidade* est assujettie à tourner autour du centre de l’instrument, et est garnie de

même de deux pinnules. Pour mesurer les angles avec plus de précision , on a imaginé de tracer des parties plus petites que celles du limbe aux extrémités de cette alidade et près des pinnules. C’est à l’aide de ces petites divisions ou de ce vernier que l’on estime les parties du degré ou du grade. Supposons , par exemple, que le graphométre soit divisé en 4<>o parties égales , dont deux forment le grade , et que 9 de ces parties correspondent à 10 parties du vernier ; alors chacune de ces

dernières embrassera , sur le limbe , un arc de- - =

centésimales. Si donc le premier trait du vernier , que l’on nomme ligne de foi * tombe exactement sur une ligne du limbe, l’angle compris entre le diamètre fixe et le diamètre mobile sera mesuré par le nombre des parties du limbe. Si, au contraire, le second trait du vernier coïncide avec une

ligne du limbe, il faudra , au nombre de grades marqués sur le limbe jusqu’à la ligne de foi, ajouter 5', quantité dont une partie du limbe excède une partie du vernier. En général, on comptera de plus autant de fois 5 ' qu’il y aura de parties du vernier depuis la ligne de foi jusqu’à la ligne qu i correspond à l’une de celles du limbe. Pour pouvoir lire plus aisément les divisions et prendre leurs parties par estime * on se sert d’une loupe qui grossit les objets. ‘ Lorsqu’on fait coïncider exactement les deux axes optiques, une des lignes de foi doit correspondre précisément au zéro de la graduation si l’instrument est bien centré; mais il n’est pas rare d’observer un petit écart à droite ou à gauche de ce point. Cet écart évalué en parties du degré , est ce qu’on nomme l’ erreur de parallèlisme ou de collimation. Cette erreur est une constante qui affecte tous les

angles mesurés ; elle est additive ou soustractive , selon que la ligne de foi qui devrait marquer exactement zéro , est en arrière ou en avant de ce point par rapport au sens de la graduation.

Les grapliomètres les meilleurs et les plus commodes , sont ceux qui sont garnis de lunettes que l’on fait mouvoir à l’aide de vis de rappel , et que l’on arrête au moyen de vis de pression. Quand les lunettes peuvent s’incliner de quelques grades a l’égard du limbe , on est dispensé de réduire a 1 horizon les angles qui n’y sont pas situés , parce qu* alors on observe dans ce plan. #

Dans tous les instrumens de ctette espèce , chaque lunette n ayant que deux verres , les objets paraissent très nettement , mais dans une situation renversée ; ainsi , la partie de droite est vue à gauche, et la partie la plus haute paraît la plus basse. Le petit tube qui porte l’oculaire s’enfonce plus ou moins dans le canon de la lunette , selon que l’exige la. vue de 1 observateur. Quand les objets paraissent très distincts, il faut que les fils du réticule situés près de l’oculaire , paraissent eux-mêmes comme deux lignes noires , lune horizontale, l’autre verticale, sans quoi ces fils ne seraient pas placés exactement au foyer de la lunette j mais par le mouvement d’arrière ou d’avant, dont ils sont doués, on les ramène aisément à ce foyer.

Il est utile qu’un niveau à bulle d’air soit adapté à la lunette inférieure pour pouvoir la disposer horizontalement lorsque 1 on mesure des angles de hauteur. L’axe du tube de verre qui renferme de l’alcool ou de l’éther étant mis parallèlement à l’axe optique de la lunette , il s’ensuit , d’après les lois de l’Hydrostatique, que lorsque la huile d’air occupe le milieu de ce tube , l’axe optique de la lunette est horizontal.

1 out 1 instrument porte sur un pied construit de manière qu’il est facile d’incliner le limbe dans tous les sens. Pour éviter a cet égard beaucoup de lenteur et de tâtonnemens ,

on dispose le mieux qu’il est possible, dans la direction des objets que l’on observe , les vis qui produisent cette inclinaison.

Description du petit Cercle répétiteur .

6. L’une des différences remarquables, entre le graphoraètre et le cercle répétiteur , est que les deux lunettes de celui-ci sont mobiles ou fixes à volonté. La lunette supérieure entraîne de même deux verniers , et son axe répond précisément au centre du lgnbe. A l’égard de la lunette inférieure qui porte un petit niveau à bulle d’air, elle est excentrique et elle tourne seule, si l’on veut, autour du pivot de l’instrument.

Le plus grand avantage du cercle répétiteur est de pouvoir atténuer presque entièrement les erreurs de la division et celles des observations , en répétant suffisamment la mesure des angles , comme nous l’enseignerons bientôt.

Dans les petits cercles répétiteurs , le pivot qui supporte le limbe est soudé au centre d’un plateau circulaire auquel on peut procurer un mouvement de rotation lent ou rapide. Ce pivot est traversé par un axe ou essieu dont les extrémités entrent dans des collets faisant partie de deux montans auxquels on a donné le nom de fourchette . Un petit quart de cercle adapté au pivot s’appuie contre ces montans et s’y fixe au moyen d’une pince , quand on veut que l’inclinaison du limbe soit invariable. Enfin, vers la partie supérieure de la douille de l’instrument sont placées deux vis opposées qui servent pour incliner le limbe dans un sens contraire à celui pour lequel le quart de cercle est destiné.

Il y a déjà plus de trente ans que l’usage de ce précieux instrument, inventé par Borda, est répandu en France et dans plusieurs contrées de l’Europe. C’est principalement dans les grandes opérations géodésiques, comme celles qui ont pour objet la mesure d’un arc de méridien , ou le lcvp

t r i gonom étriqué d’un grand état, que le cercle répétiteur f‘st indispensable. Voyez , sur ce sujet, mon Traité de Géodésie 2e édition , et la Base du système métrique j par Delambre.

De la mesure des angles avec le graphomètre.

7- C^ig. i.] Pour mesurer, avec le graphomètre, l’angle A sous lequel on voit la distance BC , placez d’abord le centre de l’instrüment au point A ; puis disposez l’alidade fixe de manière que , regardant au travers des pinnules ou de la lunette, le fil vertical couvre le point C. Enfin, dirigez l’alidade mobile ou la lunette supérieure sur l’objet B ; l’arc parcouru par celle-ci sera la mesure de l’angle A , sauf à tenir compte de l’erreur de collimation s’il y a lieu (n° 5).

Cette méthode suppose que les trois points A , B, C, sont a très peu près dans le même plan horizontal , ou que le cercle porte des pinnules , ou bien qu’il est garni de lunettes plongeantes (n°5). Autrement, si les points B, C étaient hors de l’horizon de l’observateur , et que les lunettes n’eussent point la propriété dont il s’agit, il faudrait placer le limbe dans le plan même de l’angle à mesurer.

L’angle sous lequel on voit l’élévation d’un objet situé au-dessus de l’horizon du lieu où l’on observe, se nomme angle de hauteur ; et l’angle sous lequel on voit l’abaissement d’un objet au-dessous de l’horizon , se nomme angle de dépression. Ainsi , en supposant que AH soit horizontale [Fig- *], l’angle BAH est un angle de hauteur , et l’angle B AH est un angle de dépression.

Pour mesurer ces angles verticaux , on donne au plan de 1 instrument la position verticale à l’aide d’un fil-à-plomb. Ensuite on met la lunette fixe horizontalement parle moyen du niveau à bulle d’air qui y est adapté j puis l’on dirige la lunette supérieure sur l’objet B ou B', de manière que le fil horizontal de cette lunette couvre le point de mire. Alors

l4 TRIGONOMÉTRIE.

l’arc parcouru par cette lunette est la mesure de l’angle BAII , ou B' AH. Cela suppose toutefois que l’artiste a eu le soin de dégager la lunette mobile de l’erreur de collimation , c’est-à-dire, de rendre exactement l’axe optique de cette lunette horizontal en même temps que le niveau, lorsque la ligne de foi est à zéro.

De la mesure des angles avec le cercle répétiteur.

8. Deux vérifications préalables sont à faire : i° de s’assurer que les soies ou fils du réticule de chaque lunette n’offrent point de parallaxe ; dans ce cas, leur image, lorsqu’elle se peint sur un objet distinct , ne change point de place à l’égard de cet objet , quand on éloigne un peu l’ceil de l’axe optique. On fait disparaître la parallaxe en remettant les fils au foyer de la lunette, ou l’on évite l’erreur qu’elle occasionnerait en visant toujours au milieu de l’oculaire.

2°. De voir si les axes optiques des deux lunettes sont parallèles au plan du limbe. Comme il ne s’agit ici que des petits cercles répétiteurs, il sera suffisamment exact, après avoir dirigé les deux lunettes sur un même point éloigné, de faire coïncider les intersections des fils avec ce point , en tournant dans le sens convenable les vis de rappel des réticules. Il est utile à cet égard de prendre des renseignemens de l’artiste même qui a construit le cercle dont on se sert , afin de mieux concevoir les remarques précédentes.

Voici maintenant la manière de mesurer un angle entre deux objets terrestres, avec l’instrument actuel dont les divisions se lisent de gauche à droite.

Après avoir mis le limbe dans le plan des objets, on amène la lunette supérieure à zéro , et on la fixe par le moyen de la vis de pression. Ensuite on la dirige sur l’objet à droite \ et pour l’y fixer, on serre la vis de pression du plateau. Cela fait, on rend mobile la lunette inférieure pour

LEVÉ DES PLANS. l5

Fn >Cr SUr a gauche; puis ou la fixe au limbe,

nouv *6 tlesserre la yis de pression du plateau , afin de lun a,rC tourner tout l’instrument, jusqu’à ce que la nette inférieure soit sur l’objet à droite. Lorsque cette rconstance a lieu, on serre de .nouveau cette vis, et l’on Ca»T ai n'Ue suPérieure ^ndue libre sur l’objet à

PoinlTlr* rS T 6116 * Parcouru tlePuis son premier 1 e départ , est la mesure du double de l’anele observé

ZZ2e erreUr de COllimati°n <“# 5)’ Pu*sque la it nette supérieure est partie exactement de zéro

répétanfrs 1!,qUafdrUple> 16 SCXluP'e’ «** (l un angle en «lp 1- ■ • 9 / ftC‘ f°1S Cette °Peratlor» , et partant du point de d. o oi la lunette Sl|p.rieure ^ tPme . ££2

chaque observation conjugué '

•a vis ,lu niâtes ’ï ™ t0“rner U Iimbe> et «errez

îontsle 1 ! Ensuitc met,ez la lunette inférieure hori- Z ZT a" m°yen d“ niVCa" a b""e J’air, et , po»r Si, p.^ U7ZT77 de,'a T8 de rappel de “tte ‘“nette, ramenei-la perat,on > Ia lunette supérieure se dérange,

‘-^la ru r”?*;”,'" P°int de m"'C » faisait’

milieu du tuhe ”8?!C .‘1“ P ateau ’ et appelez la bulle au nez le limbc j.’ a est-a-<hre calez le niveau. Cela fait , ameremettez la 1,,,,,,.. '* Souche, dans ‘e vertical de l’objet; tourner le limi C erieure horizontalement en faisant

teau. Enfin, rame^ ” ’êT" ^ 'ay'S tanSente du Pla‘ due libre • et l’a ,SUr °Het la lunette supérieure rende rnll.rwlf.'cs T e^e aura Parcouru sera, sans erreur

— m’a c',erc,,éc'

Le cercle répétiteur peut être employé de la même manière que le grapliomètre ; car il ne s’agit que d’amener la lunette inférieure à zéro , et de l’y fixer pendant tout le cours des observations. Pour cet effet, l'on met la lunette supérieure à ce point ; et après avoir fixé , avec cette lunette , un objet éloigné, on y dirige aussi la lunette inférieure , laquelle se trouve dans ce cas placée convenablement, soit pour la mesure des angles horizontaux , soit pour celle des angles verticaux ; mais la mesure de ces dernières serait nécessairement affectée de l’erreur de collimation si l’axe optique de la lunette inférieure n’était pas horizontal en même temps que le niveau-, ce qu’il est facile de reconnaître, en mesurant avec soin une distance zénitale parla première méthode qui est exempte de l’erreur dont il s’agit , et par cette seconde méthode , qui doit, à très peu de chose près , procurer le même résultat , plus ou moins l’erreur de collimation.

9. Lorsque le cercle répétiteur porte des lunettes plongeantes, on dispose toujours le limbe horizontalement, à l’aide de deux niveaux disposés à angle droit ; par ce moyen , les angles observés entre les objets terrestres , sont réduits sur-le-champ à l’horizon , ce qui dispense de faire aucun calcul à cet égard. Mais il n’y a guère que les théodolites qui jouissent de cette propriété. Dans ces instrumens, la lunette inférieure sert simplement de repère : on la fixe sur un point quelconque de l’horizon , tandis que la lunette supérieure arrêtée d’abord à zéro, est dirigée sur un des objets, ensuite est détachée du limbe pour être fixée sur le second objet. On conçoit en effet que , par cette manœuvre , la lunette supérieure a parcouru l’arc qui mesure horizontalement l’angle observé; mais parce que cette lunette peut être ramenée sur le premier objet sans être détachée du limbe, puis dirigée sur le second objet sans que le limbe gradué acquière aucun mouvement, il s’ensuit que le vernier de la lunette marque alors le double de l’angle ; et comme

LE xt DES PLANS.

ïicn n empêche de continuer indéfiniment cette opération, on a ainsi *,2,3,4 >••• fois l’angle horizontal cherché.

Les théodolites répétiteurs exigent plusieurs vérifications préalables que nous avous indiquées dans notre Traité de Géodésie.

A la ligueur, les angles horizontaux ou ceux observés entre les objets terrestres auraient besoin d’une petite correction due à V excentricité de la lunette inférieure du cercle répétiteur; mais il est rare que l’on soit obligé d’en tenir compte , même dans les opérations les plus délicates de la Géodésie. 11 est cependant des réductions indispensables qu .1 importe de faire connaître : c’est ce que l’on va voir dans les deux chapitres su i vans.