CHAPITRE IL

De la réduction des angles au centre de la station.

Centres visibles et accessibles .

io. Lorsqu’on lève la carte d’un pays, on n’cst pas toujours le maître de placer à son gré des signaux commodes pour l’observation , tels que ceux qui sont formés de pyramides creuses , ou d’un assemblage de longues files de bois garnies de feuillages, et disposées en forme de cônes alongés , de manière que l’intérieur soit entièrement libre; il faut souvent , au Contraire, profiter des clochers , des tours , ou d’autres objets élevés qui peuvent être considérés comme les sommets des angles des triangles du réseau : de là la fréquente nécessité d’observer à quelque distance de l’axe du signal, ou de placer le cercle au-dessus ou au-dessous du point de mire. Mais comme dans les petites opérations géodésiques on emploie presque toujours pour signaux de longues perches bien droites fichées en terre, on les ôte pour pouvoir y placer le centre de l’instrument , et on les replace ensuite s’il est nécessaire. Voici la méthode que l’on emploie dans le cas con#aire, et lorsque le centre de la station est visible et accessible.

£Fig. 3.3 Soit C le centre de la station, et O celui de l’ instrument ou le sommet de l’angle observé AOB. Ou

demande la valeur de l’angle ACB , qui est la réduction du premier.

Faisons les données

AOB = O , BOC —y, CO=r, BC = G, AC = D,

€t l’angle inconnu ACB = C.

Puisque l’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux intérieurs opposés , on a , par rapport au triangle IAO ,

AIB = 0+ IAO-, et par rapport au triangle BIC ,

AIB = C -H CBO -, égalant ces deux valeurs, on obtient

C — O + IAO — CBO.

D’un autre côté, on a

sin CAO = + , sin CBO =

mais les angles CAO , CBO étant toujours fort petits, leurs arcs peuvent être pris pour leurs sinus-, donc

c — o -4- LilnJ2±z2 r sin y I) G '

Au moyen de cette formule, la réduction C — O serait donnée par un arc exprimé en parties du rayon pris pour unité , pour 1 avoir en secondes , il est donc nécessaire de multiplier cet arc par R", c’est-à-dire, par le nombre de secondes contenues dans un autre arc du même cercle égal au rayon j ainsi on a

C — n — R^sin (O -h .y) R" r sin .y

Selon que l’on fait usage de l’ancienne ou de la nouvelle division de la circonférence, R" = 206264", 8, ou .

TBIGONOMÉTHIï:.

R” = 6366i9",8. On a même à très peu près R* = — T-p :

pour s’en convaincre, il suffit- de remarquer que le sinus d’une seconde , vu sa petitesse, pouvant être pris pour l’arc

même , on a sensiblement — 7 .=• - ; mais .

sin 1 arc 1

— ï — - = R" exactement : donc R" = -r— — arc 1 sin 1

L’usage de la formule précédente ne peut être embarrassant dans aucun cas, pourvu qu’on ait égard aux signes de sin (O-j-jy) et de sin y \ ainsi le premier terme de la correction sera positif si l’angle O -f- y est compris entre o et 20oSr, et il deviendra négatif s’il surpasse 2oo?r. Le contraire aura lieu dans les mêmes circonstances , pour le second^ terme qui dépend de Y angle de direction y

11 est remarquable que D est la distance à l’objet de droite , et G la distance à l’objet de gauche. Quant à l’angle y , c’est toujours celui sous lequel paraissent le centre de la station et l’objet de gauche ; ainsi , quand on a mesuré l’angle AOIl , et que la graduation est numérotée de gauche à droite , comme sur tous les cercles français , la lunette supérieure est dirigée sur l’objet à gauche B, et l’inférieure sur l’objet à droite A ; alors celle-ci restant fixée sur A , si l’on fait mouvoir la lunette supérieure de droite à gauche, jusqu’à ce que son axe réponde au point C , l’arc qu’elle aura parcouru sur le limbe sera la mesure de l’angle y, qui doit toujours se compter suivant l’ordre des divisions de l’instrument, et dont la valeur peut aller depuis o jusqu’à 4°°cr. Cet angle ne devant pas être mesuré avec une très grande précision, l’on dirige seulement le mieux possible sur le centre C la lunette supérieure rendue libre, en fixant deux points marqués sur le haut du tube , l’un près de l’oculaire , l’autre près de l’objectif. Quant à la distance r, elle doit être mesurée avec exactitude, et à l’aide d’un cordeau.

Si plusieurs angles consécutifs O , 0'; O", O", etc. , étaient

LEVÉ UES ri.AKS.

situés dans un mcnie plan, oblique à l’horizon si l’on veut, on les réduirait tous au centre C, à l’aide d’un seul angle de direction y, et de la distance au centre r; alors, par rapport à l’angle O', l’angle de direction serait

par rapport à O",

y"=y' + o'=y + 0 + 0'-, par rapport à O",

y"=y" + 0" =y + 0 + 0' + O’; et ainsi de suite.

Donnons maintenant un exemple du calcul de la réduction au centre, et mettons l’équation (1) sous cette forme :

r — R«r ( sm (Q+.y ) sin .y \

en faisant « = C — O.

Soit l’angle observé O =r 48?v56

l’angle de direction y =

la distance au centre r —

la distance à l’objet de droite D = i la distance à l’objet de gauche G = 2o345

Ces deux dernières distances se calculent par approximation; c’est ce que nous verrons bientôt.

Ier terme de la correction. 2e terme.

logR" 5,8o388

log r o,5l282

log sin ( O +^y ) — 9,893 1 o log sin y — 9,99807 cotnp. logD 5,75627 comp. log G 5,69 154 92", 483 — 1 ,96607 -f- 1 01", 465 + 2,oo63 1 Première partie — 92 ,483 Réduction 1 = +8 ,982

Angle observé O = 48sr/;56o ,

Angle réduit au centre C = 48 ,7568,982

22 TBIOOKOiIKTIU£.

Pour déterminer le signe de chaque résultat partiel , il faut avoir égard à la règle des signes employée dans la multiplication; ainsi quand les facteurs négatifs sont en nombre impair, le produit doit être affecté du signe négatif : c’est le contraire lorsque les facteurs négatifs sont en nombre pair.

Centres invisibles des tours à bases circulaires.

il. [Fig 4. 3 II arrive souvent que les centres des clochers, des tours, etc., au-dedans ou au-dehors desquels on observe, sont invisibles. Voici les moyens Jes plus simples pour lever cet obstacle.

Si l’on est placé en O extérieurement à la tour circulaire TzT', on mènera les tangentes OT, OT' sur lesquelles on'prendra deux distances égales et arbitraires O* , Ox', de manière cependant que la ligne xx' soit le plus près possible de la tour dont C est le centre : on fera mx = mx' et O m sera évidemment dans la direction de ce centre. On observera alors l’angle COB —y, et à la distance Oz, on ajoutera le rayon Cz pour avoir CO = r.

S il était impossible de mesurer le rayon ou la circonférence du cercle TzT', on mesurerait l’une des tangentes , OT, par exemple, et l’on aurait

puisque toute tangente au cercle est moyeune proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Le reste de l’opération n’a maintenant aucune difficulté.

II est a propos de remarquer que l’on peut avoir encore l’angle y sans connaître la direction de la sécante Oz' ; car TOB + T'OB

on a COB — — - ; ainsi l’on fera coïncider d’a¬

bord l’axe de la lunette supérieure avec la tangente OT , ensuite avec la tangente OT, et l’on tiendra compte chaque

fois du nombre de grades marqué par cette lunette, qui doit toujours marcher de droite à gauche.

Lorsqu’on sera placé dans l’intérieur d’une tour circulaire, on fera en sorte de placer le centre de l’instrument Rur le milieu de la corde qui passe par ce point , et la perpendiculaire à cette corde sera la direction du centre de la tour. Alors en mesurant cette même corde et la flèche de l’arc qu’elle soutend, il sera aisé de déterminer la distance au centre par la proposition 23 du Livre III de la Géométrie de M. Legendre.

Centres invisibles des tours à bases polygonales.

T 2. C Fig. 50 Si 1’ on était en dehors de la tour rectangulaire DD', en O par exemple, et que de ce point l’on pût voir les extrémités de l’une desdiagonales DD', ddf , on aurait 1 angle de direction COB =y , par la méthode suivante.

On mènera une droite parallèle à DD', en partageant en parties proportionnelles les côtés OD ,OD' du triangle ODD', et le milieu de cette parallèle sera sur la direction OC.

Autrement , on mesurera exactement la droite O p perpendiculaire à dD' , ainsi que la partie pm comprise entre 0/> et la perpendiculaire Cm imaginée abaissée du centre de la tour sur le côté d' D. Comme Cm est censé connu , on aura ÏTlrJ par la proportion

Cm + O p ; pm : ; Cm \ mq ;

ainsi la droite qO , dont la direction est maintenant déter- 111,11 } passera nécessairement par le centre C ; on mesurera donc qO , et l’on aura

et enfin.

Cq = y/ Cm +

mq ;

r — qO -p. qC.

Ainsi , les deux élémens de la réduction de l’ angle observé en O seront connus.

TKICONOMBTH1K.

11 est visible que ce dernier procédé est général pour tous les polygones réguliers, soit que l’on observe dans l’intérieur, soit que l’on observe au-dehors; toute la difliculté consiste, lorsque le centre est inaccessible , à déterminer l’apothème Cm du polygone qui l’entoure, et c’est ce que la Géométrie enseigne.

Cependant s’il arrivait que l’on ne pût mener la perpendiculaire O p y on tirerait la droite O m, et l’on éleverait à D/> une perpendiculaire vers le milieu de pm. La partie de cette perpendiculaire interceptée dans lo triangle COm sera facile à déterminer par la théorie des lignes proportionnelles j ou aura donc la direction du rayon OC, et ce moyen est aussi général que le précédent.

Il est évident que tout ce qui vient d’être dit relativement aux tours rondes ou polygonales, s’applique mot pour mot aux poutres verticales qui peuvent embarrasser le centre de la station.

Quand le signal sur lequel on dirige un rayon visuel a , par exemple, la forme d’un parallélépipède, et qu’il présente obliquement à ce rayon une de ses faces éclairées, il en résulte qu’un des côtés de l’angle observé , passant par le milieu de la face dont il s’agit, s’éloigne un peu du centre du signal; par conséquent, cet angle a besoin d’une très petite correction. Mais le plus souvent l’on ne tient aucun compte de cette correction , due à ce qu’on appelle la phase du signal ; parce qu’on l’évite en pointant sur le milieu même de ce corps, si on voit tant la partie éclairée que celle qui est dans l’ombre.

1 3. La réduction au centre de la station exigeant la con^ naissance approchée des distances entre les signaux , on résout d’abord les triangles comme si les observations avaient été faites aux centres mêmes des stations.

[ Fig. 8.] En supposant, par exemple, que dans le réseau trigonométrique ABCDE..... le côté A11 soit donné par un levé fait antérieurement à celui-ci k ou qu’il ait etc

réellement mesuré ; on résoudra le premier triangle à l’aide de ces deux proportions :

sin G : sin A :: AB : BC 1 .

sin G I sin B :: AB ; AC J'1'’

Gn passera ensuite à la résolution du deuxième triangle BCD , dans lequel le côté BC calculé sera pris pour base , et 1 on procédera de meme de proche en proche , jusqu’au dernier triangle FGII ; mais dans ce calcul préliminaire , il suffît d’employer .les logarithmes des côtés avec cinq décimales au plus.

On évite tout calcul en mesurant les distauces avec l’échelle meme du canevas trigonométrique, construit comme si les angles observés n’avaient besoin d’éprouver aucune réduction.

trigonométrie.

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