CHAPITRE III
De la réduction des angles à V horizon.
*4* Les angles réduits au centre de la stationne réduisent ensuite à l’horizon, quand les angles de position ne sont pas situés dans le plan de l’observateur ; parce que comme dans le système de projection adopté pour représenter les positions respectives des objets, on ne considère que les distances horizontales , il est nécessaire, pour calculer sous ce point de vue les côtés des triangles, de réduire leurs angles dans le plan meme de ces distances.
[ Fig* 6 ] Soit z le zénit de l’observateur qui, du point C, a observé l’angle BCA incliné à l’horizon B'CA' ; cet angle aura pour réduction ou projection horizontale l’angle B'CA' formé par les plans verticaux ACA', BCB', dans lesquels sont situés respectivement les signaux A, B.
Mais l’angle B'CA' est le même que l’angle sphérique z du triangle zab formé par trois arcs de grands cercles , dont l’un sa est la distance au zénit de l’objet A ; l’autre zb > la distance au zénit de l’objet B; et le troisième ab , la mesure de l’angle observé BCA. Donc si Ÿ sont les distances au zénit connues za , zb , et que c soit l’angle BCA au centre de la station , l’on connaîtra les trois côtés du triangle sphérique abz-} ainsi, en se conformant à la notation actuelle, l’angle z sera donné par cette formule, savoir :
V sin i sin P y
le tayon des tables étant égal à l’unitç.
En effet , l’angle cherché étant celui d’un triangle spliéri(lue dont on connaît les trois côtés , on a, n° 4 > cos c = cos a cos b -J- sin a sin b cos C ,
cosC =
cos c — cos a cos b
sin a sin b *
niais à cause de 2 sin* à C = 1 — cos C , on a , en outre ,
... -, cos c — cos a cos b
2 Sin Ï C = 1 - ; - : - - - :
sin a sin b
puis réduisant au même dénominateur, il vient
cos (a — b ) — cos c
2 sm* l C = - - — r - f— 7 - :
sin a sin b
enfin , de ce que cos ( a — b ) — cos c = 2 sin^ (c -1- b — a ) sin l (« -f- c — b ) t on a
-, sin ^ ( b -f- c — «) sin \ (a -f- c — b )
sin a sin 6
sin a sin b *
formule qui est la même que celle ci-dessus, puisque a = b = P} C = z.
Soient, pour application,
c = 65gr,456o, ^=86sr,25, ^' = 858', 40;
1 opération par les logarithmes sera , en désignant .
c+*+^par s,
sin2 iC:
Log sin ( i — * ) - 32gr,3o3 9,6865639 Log sin Q — ? ^ = 33 , 1 53 9j6g6832a
Eomp. log sin . 0,0 1 o2o95
Comp. log sin . 0,0 1 1 5224
i9,4o5i28o Log sin [ z . 9,7025640
De là
TRIGOKOaiKTRIï:.
i 2~ 33or,63t)2 ; s ~ 6'7gr,2,j84 ;
ainsi , la projection de l’angle c est de 671^,2784.
Il est bien rare que les distances au zénit soient aussi petites que dans l’exemple ci-dessus ; et si elles ne différaient de l’angle droit que de deux ou trois grades , la formule précédente deviendrait trop pénible à calculer, pour avoir avec exactitude la projection de l’angle observé; il vaut mieux alors chercher la réduction, qui n’est que de quelques secondes. Cette réduction s’obtient par une formule à laquelle on parvient de la manière suivante.
Le triangle sphérique zab donnant (n°4), en se conformant à la notation précédente,
cos c — cos ^ cos y
cos Z — - : - — - - -
sm a siu ’
on a , en faisant iQ — M — iQ u'
cos c — sin « sin *
cos z = - , - •
cos a cos a
mais sin « = « — 1. -f . . s[n =
cos « = i — *- 4. . . coS , !L2 + .
substituant ces valeurs dans celle de cos z, et ne conservant que les termes du second ordre, on a
COS C - cto»
C0S Z “ i («• + «'a }=(C0SC-*«') [l ’)] ’i
soit z — c 4* on a , en supposant x très petit , cos z = cos ( c -f- x ) = cos c — x sin c ;
égalant cette valeur à celle de cos z précédente, développée jusqu’aux quantités jlu second ordre inclusivement, iÊ vient
cos c—x sin c := cos c — au' -f- £ (** -f- **) cos c ; d’où l’on tire
um — l («* -f- «,a ) cos c
sm c
«Tailleurs , à cause de
et de on a
cos c = cos* je — sin* 5 c ,
«* = ( sin* i c -j- cos* Je)
et enfin
(« H- «' )* sin* ~ c — ( u — u )* cos* l c 4 sin ~ c cos - c
tangic(-
Dans cette formule , * -f- » et « — * sont données en minutes ou secondes, tandis que ces quantités doivent être considérées comme des arcs comparés au rayon R pris pour
unité; mais si Ton y met à la place de
“ “f" * et de u a , la correction x fera elle-même partie de ce rayon , et en la multipliant ensuite par R", c’est-à-dire par le nombre de secondes contenues dans le ravon , on aura définitivement
*=(ioogr£±i!y. ,ü&Lî (iz rüy. co^~ f ;
formule que M. Legendre a donnée (page 4^3 de sa Trigonométrie, 12* édition). En voici le calcul,
Supposons que l’angle an centre c — 56sr,ç)65a ,
30 TRIGONOMKTIUE.
et qu’il soit compris entre deux objets dont les distances au zénit sont
f = g8?r,253o gg ,o525
on aura ig7Sr,3o55...<5' — ^=o8r,7gg5
1 °oSr - : =1,7472= p,. - = 0,3gg7 = ?.
Ier terme positif.
2e terme négatif.
Comp. log R" = 4,19612 4>x9^12
log />a = 8,25886 log y5 = 7,20347
