CHAPITRE IV

De la détermination des distances et de leur orientation.

Mesure des bases.

16. Puisque les triangles dont le canevas d’une carte est formé , sont liés les uns aux autres, il s’ensuit, comme nous l’avons déjà dit, qu’il suffit à la rigueur de connaître ou de mesurer un seul de leurs côtés pour pouvoir calculer toutes les distances entre les signaux. La mesure de ce côté ou de cette base est une des opérations les plus délicates et les plus importantes de la Géodésie , et son exactitude doit être subordonnée à celle de la mesure des angles. 11 est essentiel qu’une base ne soit pas trop petite, qu’elle soit établie sur un terrain de niveau , ou plutôt que la ligne géodésique qui la représente soit droite, et que sa longueur comparée aune unité de mesure parfaitement connue, soit réduite à l’borizon.

Dans les levés ordinaires, on se sert de perches que l’on met bout à bout dans la direction d’une droite tracée avec de» jalons garnis d’un petit carré de papier blanc à leur extrémité supérieure , pour servir de point de mire. On a au moins deux de ces perches dont chacune a exactement deux mètres de longueur, et dont les abouts sont revêtus d’un bouton de fer ou de cuivre. Communément on les dispose horizontalement sur des soles de bois, qnand le terrain est très peu incliné ; mais si la base est établie sur un terrain

oblique a 1 horizon , il est plus commode de mesurer la l’JtfU<jUr ,n®mc chacune des pentes comprises dans „ • m UG \e cetle *)ase> et après avoir estimé leur incli- ' S0,t le œrcle réPé,it«“’.. soit par d’autres

mesure, ?U|V’°“S iT^T P°r ,a Suite’ °" réduil lcs

,“rU°n a ' alde dc Ia fo*mule suivante :

eliuais™ °nSUeUr ’lc k !i6"c droite "‘“mie, i son i„-

mènt nar’r * "????*** >>°™ntale; on aura évidemment par la propriété du triangle rectangle (n» 3 ) ,

X = k COS i.

Mais comme le plus souvent l’angle i est fort petit, il est plus commode de calculer l’excès de k sur * : alors on a

k ~~ x — k (* — cos O = 2 h sina i i.

Ainsi la quantité qu’il faut ôter de la longueur mesurée gucur^multlnP ^h°r’20n ’ est ôSa,e à deux^ fois cetteton- L^dwttr eCa"é -lié de

Il importe de mesurer deux fois la même hase et de prendre pour véritable ligne géodésique la moyenne entre les dfflx longueurs obtenues, quand leur différence tombe dans les limites des erreurs possibles des mesures; et si l’on vise a une grande précision, il est essentiel de mesureruue base de vérification loin de la première, afin de s’assurer si les résultats fournis par les calculs des triangles s'accordent avec ceux qui dérivent de mesures prises sur le terrai Pour des plans de petits domaines, il est assez exact de i K * j6S '^nes pvmeipales d’opérations avec une chaîne de 5 OU de io mètres; mais avant de s’en servir, il faut la \eri îer sur un étalon, et lui donner environ 2 centimètres tep us que 10 métrés, vu qu’il est impossible de la tendre rigoureusement en ligne droite; d’ailleurs on risquerait, en voulant atteindre cette limite , d’en rompre les anneaux.

Ces lignes d opérations se mesurent aussi avec assez d’exac*

titudeet avec la plus grande facilité, à l’aide d’un instrument auquel on a donné récemment le nom de stadia. C’est tout simplement une règle en bois peinte en blanc et divisée en parties égales par des traits et des points noirs très sensibles, qu’on dispose verticalement à l’une des extrémités d’une distance à mesurer, et que l’on regarde de l’autre extrémité avec une lunette armée à son foyer de deux fils horizontaux , afin de voir combien il y a de parties égales de la règle comprises entre ces fils. En effet, le nombre de ces parties croissant proportionnellement aux distances de la stadia à la lunette , il suffit de connaître combien il y a de parties interceptées entre les fils dont il s’agit à une distance donnée , pour savoir combien il y aurait dé ces mêmes parties à toute autre distance, et réciproquement.

Les moyens que nous venons d’indiquer pour mesurer les bases , seraient insuftisans dans les grandes opérations géodésiques, où il est surtout nécessaire d’avoir égard à la dilatation des perches due à l’action de la chaleur. Ceux qui voudront connaître les meilleurs procédés à employer en pareille circonstance, les trouveront développés dans le grand ouvrage de Delambre , déjà cité, et dans notre Traité de Géodésie j tome I.

17. Voici maintenant comment on réduit une longue base au niveau de la mer.

[Fig. 7 ] Soit p le rayon de la terre réputée sphérique pour le niveau de la mer ; p -f- h le rayon pour le sol de la base AMB, supposé de niveau ; h sera l’élévation Aa du sol au-dessus de la surface des eaux. Soit de plus B la base mesurée AMB , et b la base réduite amb.

Cela posé, puisque les arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons, on aura

prenant la valeur de B, et ajoutant de part et d’autre — b T il viendra

BA

BA

puis développant la puissance négative, on aura

Tel est 1 excès de B sur b : nous apprendrons dans le chapitre suivant à déterminer h.

Tous les côtés des triangles que l’on calculera d’après la iase réduite b , seront des arcs de grands cercles d’une même sphere. On ne peut se dispenser de faire cette réduction 1 u on veut comparer la longueur d’une base mesurée avec la longueur que fournit le calcul des triangles: mais pour les levés dont il s’agit dans le présent Ouvrage , cette réduction est absolument inutile -, aussi ne l’avons-nous fait onnaitre que pour donner au lecteur une idée de ce qui se pratique dans la haute Géodésie.

Orientation des plans.

18. Un plan est orienté lorsque l’on connaît l’angle qu’une de ses lignes principales fait avec le méridien terrestre,

Lupent vl °ni «T ^ ^ les objets

moyens f *** qUatrG P°‘nts cardinaux- Un des

nuit d d°btenir cet an8le, est, pendant une belle

sur 1 y/- ; lrigfr la lunette supérieure du cercle répétiteur ment Pol*ire , après avoir disposé le limbe verticale- On lJ COmme P0ur prendre une distance au zénit (n° 8).

1 f lns*rument exactement dans cette position ; et que î ait jour, on fait mettre un signal un peu loin de o seivateur , <le manière qu’il se trouve dans l’axe optique a unette ramenée a l’horizon : ensuite on observe l’angle entre ce signal et l’un des objets dont la position est connue Sur a carte, ainsi que celle du lieu de l’observation. Cet

36 T RIGOÎ'i OM LTK 1K.

angle; que l’on nomme azimut „ fait connaître la direction des côtés des triangles par rapport à la méridienne terrestre : le plan est donc orienté.

L’étoile polaire n’étant pas tout-à-fait située au pôle du monde ( Uranographie de M. Francœur , page 236 ) , il convient , pour plus d’exactitude, de l’observer au moment même où elle est dans le méridien : or , on a reconnu que ce moment arrive à très peu près lorsque cette étoile est dans le même plan vertical avec la première des trois étoiles de la queue de la Grande Ourse , la plus voisine du quadrilatère. Ainsi l’on saura, à l’aide d’un fil-à-plomb, lorsque cette circonstance aura lieu. Le succès de cette opération tient à l’habitude d’observer de nuit les étoiles. Pour les voir dans le champ de la lunette en même temps que les fils du réticule, il faut faire éclairer un peu l’objectif pendant que l’on a l’oeil à l’oculaire. Avec cette précaution, il est facile d’amener l’étoile sous le fil vertical.

Les observations azimutales se font aisément avec un bon théodolite (*). Elles réussissent aussi en observant au cercle ordinaire une étoile brillante, telle que Sirius, dans deux plans verticaux et à la même hauteur au-dessus de l’horizon ; c’est-à-dire, avant et après son passage au méridien. Il est nécessaire , dans ce cas, de mettre l’étoile à l’intersection des fils, et de lire l’arc intercepté entre les deux directions observées. La moitié de cet arc horizontal sera l’azimut de l’une des directions dont il s’agit , comme cela est évident.

La nature de cet Ouvrage ne comporte pas le développement des méthodes et calculs astronomiques dont il est préférable de faire usage pour déterminer exactement les azimuts des côtés d’une grande chaîne de triangles \ mais l’on peut consulter sur ce sujet le Traité de Géodésie j tome II.

(')'Lcs théodolites et ccreles répétiteurs que construit tiambey, l’un d« nos plus habiles artistes eu ce genre , ont toute la perfection désirable’.

Calculs lUs côtés des triangles.

*9- Pn a vu dans les numéros précédens comment , apres avoir recueilli toutes les observations d’angles , on réduisait ces angles de manière que, dans chaque triangle, leur somme valût toujours deux angles droits ; cette opération est fondée sur l’application du théorème de M. Legendre , cite au n° i5, et auquel on parvient très aisément par la considération suivante.

Supposons qu’au triangle sphérique , dont les données sont les deux cotés a , b , et les deux angles opposés A , B , corresponde le triangle rectiligne a, û, A', B'; et que l’on ait ^ x , B' = B — x ■, on demande de déterminer x .

Par la propriété du triangle rectiligne,

a si n (A — x)

6 sin (B — x)*

mais à cause de la série connue

- a.3 ' 273.4.5 ~ etc- »

-on a à très peu près, vu l’extrême petitesse de a , par rapport au rayon de la terre,

a sin a -f- ~ = sin „ 4

par conséquent, sin a ^.S)

- ^2. — sin (A — x) sin A / 1 — v cot A \

sin b ^ sin (B — x) sinlï \i — .xcotB/

D ailleurs le triangle sphérique correspondant donnant sin O’ sin A

s\n b — suTb ’ on a ’ en s’,mplitiant , chassant les dénominateurs, et négligeant les quantités du 4e ordre,

a* — b* ( y \ — b% sin A sin B

~~~ 6 \ cot B —"cot A / — ’ sin (A — B)’

38 TRIGONOMETRIE.

valeur qui est précisément le tiers de l’aire du triangle sphérique considéré comme rectiligne (n° 3). Mais la somme des trois angles du triangle sphérique est (n° 4) »

< étant l’aire de ce triangle , laquelle différé extrêmement peu de celle du triangle rectiligne dont les côtés seraient a , b , c; de plus , à cause de x — 5 #, on a

A.' = A — if, B' = B — j* j

partant ,

A + B-f-C = A — 5 * -J- B — ^ « — |- C' -4- s , et enfin, C' = C — 3*.

Maintenant , il est évident que si avec les données a , c , A , C , du triangle sphérique , on formait un second triangle rectiligne a, c, A — y , C — y , on aurait y =* = 5 t , ou, ce qui est de même , ce second triangle serait égal au premier. Donc tout triangle sphérique très peu courbe répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur j mais dont les angles opposés à ces côtés sont ceux du triangle sphérique j diminués chacun du tiers de V excès de leur somme sur deux angles droits.

L’excès sphérique * , rapporté à une sphère du rayon = 1,

a évidemment pour valeur ^puisque «est l’aire du triangle

proposé sur une sphère dont le rayon est ry ainsi , en général , cet excès est proportionnel à l’aire du triangle auquel il appartient. Pour l’avoir en secondes, il faut écrire

R" étant le nombre de secondes comprises dans un arc égal au rayon.

Lorsque les angles de chaque triangle ont été réduits au centre et à l’horizon , ainsi qu’il a été enseigné précédem-

Mi VT. mis PLANS. y

ïn*nt> et qu’on a obtenu leurs valeurs moyennes * on *csout ^es triangles par la méthode du n° i3 , en faisant usage de logarithmes à 7 décimales. De cette manière, les distances cherchées sont déterminées avec toute l’exactitude possible.

V oici le type de ce dernier calcul :

Supposons que dans le triangle ABC [fig. 8] la hase AB , mesurée et réduite au niveau de la mer, soit de et que l’on ait pour les angles réduits aux centres des stations et à l’horizon

A = 68SV, o334*>

C = 69 , 89616 Somme = 200 , ooo3o

Retranchant 200

L’excès sur deux angles d roits= o , ooo3o

Désignant par A , B', C ces mêmes angles diminués chacun du tiers de cet excès , on trouve

A' = 68fir,o3336 B' = 62 , 07058 C' = 69 , 89606 Somme — 200.

Cela posé, les proportions (1) du n° i3 étant calculées par les logarithmes , on a

Co- log sin C'= o,o5o48i 1 log AB^4,38ai48a logsinA' =9,94278 1 1

log BC —4,37541 04 =a3736m,i5

Comp.log sinC'=o,o5o48i * 4,38214^2 log sin B' =9, 91 78747 logAC=4,35°5o4° =224*3™, 2.

Dans la pratique, on ne saurait trop mettre de l’ordre dans les calculs , et chercher tous les moyens d’abréger les opérations : c’est dans cette vue que l’on pourrait disposer ,

ainsi qu’il suit , les données et les résultats précédens dans des tableaux dont les titres seraient imprimés d’avance.

ANGLES HORIÏOJTTAüX

logarithmes