CALCUL
des côtes.
en
mètres.
4;3754io.'|
aa4i3,30
3oo,ooo3o
Les mètres qui sont sur la même ligne que A expriment la longueur du côté opposé à cet angle , et ainsi des autres.
Dans l’exemple précédent , tiré du calcul d’une chaîne de triangles du premier ordre , les angles sont exprimés en dixièmes de secondes centésimales ; mais il est inutile de s attacher à une si grande précision , toutes les fois que l’on n observe qu’avec des petits cercles de om,i6 de diamètre. Je n ai choisi cet exemple qu’afin de montrer comment on peutapprécier l’erreurdes observations; car les 3"d’excès trouvées ci-dessus n’expriment pas cette erreur seulement (n°i5). En effet , on sait par le théorème de M. Legendre (n° précédent) que l’excès sphérique e d’un triangle très peu courbe ,
évalué en secondes, a pour valeur Si donc l’on dénote r
par A , B , C , les angles du triangle , et par a J b , c les côtés qui leur sont opposés , l’aire a de ce triangle aura
pour expression a.~ ^ bc sin A ; et en vertu des données
précédentes, et de ce que r = 6366198'“,
log = 1°S R" — 2 log r = 2,1961 l9>
°n aura
log ï =
log b == 4>3754i
log c = 4>35o5o log. sin A = 9,94278
log a = 8,36766 log constant = 2,1961a
log * = 0,56378 = 3", 66
Ainsi la somme des erreurs commises dans la mesure des trois angles du triangle ABC n’est que de o",66.
20. En Géographie l’on ne considère pas seulement les triangles sphériques très peu courbes. Par exemple , s’il s’agissait de déterminer la plus courte distance géographique de deux lieux quelconques du glohe terrestre supposé de forme sphérique , c’est’-à-dire l’arc de grand cercle qui joint ces deux points, l’on aurait à calculer le troisième coté d’un grand triangle sphérique dans lequel on connaîtrait deux côtés et l’angle compris.
D abord , il est remarquable qu’un point est donné de position sur la terre par sa latitude et sa longitude j ou , ce qui est de même , par sa distance à l’équateur, et par l’arc c e ce grand cercle compris entre le premier méridien et ce ui du point que l’on considère. Ainsi les distances de deux points à l’un des pôles de la terre sont deux côtés d un triangle sphérique dont l’angle est égal à la différence des méridiens ou des longitudes , et le troisième coté est la distance que l’on cherche. Cela posé:
1 rouver la plus courte distance de Paris au cap de Bonue- Espèrance.
4a TJUGONOMÉTBÏE.
D’après l’ Annuaire du Bureau des Longitudes j la latitude de l’Observatoire
royal de Paris . =? 48° 5o' 14".
De là, distance au pôle boréal . c = 4^ 9' 46".
Latitude australe du cap de Bonne-Espérance = 33° 55 i5" ; de là, distance
au pôle boréal. . . . . £ = i23° 55' i5".
Longitude orientale du même point , comptée de Paris . A = 160 3' 45".
Soient donc A le pôle Nord, B Paris, C le cap de Bonne- Espérance; on aura, pour résoudre le triangle sphérique ABC, dans lequel on connaît deux côtés et l’angle compris , la formule
cos a = cos b cosc -f- sin b sin c cos A. Opérant par les logarithmes, on aura
i,r tir me. 2e terme.
log cos b = 9,7466706 — iogsinô = 9,9189783 4-
log cos c = 9,8767043 -f- log sin c == 9, 81 83583 -{-
log i,r t. = 9,6233749 — logeos A = 9,9827055 4-
log 2e t. = 9,7200421 -f-
De là ,
Ier terme = — o, 4201215 2e terme — 4- o, 5248584
cos a = 4“ 0,1 047369, log cos a = 9,0200998.
Ainsi
Maintenant, pour évaluer l’arc a en myriamètres, on se rappellera que 90°= 1000 myriamètres ; et l’on fera cette proportion :
90° : 83° 5g' i6",8 :: 1000 : *, ou bien en décimales de degré ,
d’oii enfin
x 9^3 tz myriamètres , comme l’indique l’ Annuaire,
21 * Au lieu de former le canevas d’une carte , ainsi que le représente la figureS, il est plus simple , lorsque l’on ne s attache pas a une rigoureuse exactitude , de procéder de la manière suivante :
[ Fig- 9- ] Soient A , B , C , D , F , G , Il , K , L , les points fondamentaux d’un plan , points qui sont représentas par des signaux naturels ou par des signaux artificiels que l’on établit convenablement en faisant la reconnaissance du pays (n° io). On dessinera à vue tous les objets sur un calepin ou brouillon destiné à contenir les différentes mesures que l’on prendra dans le cours des opérations , et Ion y tracera la base AB des extrémités de laquelle on
aperçoit la plupart des points ABC . ayant soin toute-
0,s que cette base ne soit pas trop petite à l’égard de sa distance aux points visibles. Ensuite on mesurera au pomt A avec le graphomètre , ou mieux encore avec le cercle repet.teur, les angles CAB , DAB, H AB , FAB ,
, \ V°n SG SGrt du géomètre, il convient , pour
Lr 1 6 faC,hté Ct dC précision ’ de diriger la lunette fixe .f P°mt B ’ et d’amener successivement la lunette
étanl f -T" 1CS P°intS C> Ces Ovations
pareil! 'V U prem,èr0 station A, on ira en faire de les in T a Seconde slatl°n B -, c’est-à-dire qu’on relevera
L "f S, CBA • DBA . “A . FBA , GBA : enfin l’on me-
surera la Iiaqo a p „ d •«
plus haut par * UU des moyens sont expliqués
oit que de cette manière on connaîtra dans chacun
r ang es ACB , ADB . . un côté et les angles adjacens;
on ca eu era donc facilement les distances AC , CB , AD , ...... a laide desquelles et de la base AB on déterminera
ensuite , sur le mis-au-net et d’après l’échelle adoptée, les Positions respectives des points A , C , D , II , B , G , F, soit
44 TJUCONOMÉtiUE.
par Ja méthode si connue des intersections, soit par le
moyen d’un rapporteur (i).
Il reste à placer sur la carte les points K, L, qui n’ont pu etre aperçus du point A, mais qui peuvent l’être des points B, H : pour cet effet, l’on considérera la distance BH comme une nouvelle base qui servira pour lier ces nouveaux points au premier système, en observant les angles KI1B LIIB, KBH , LBII • parce que l’on connaîtra de même dans les triangles KIIB, LIIB, deux angles et un côté. Il est évident qu’il n’est pas nécessaire de mesurer la distance BH, puisqu’elle est donnée par la résolution du triangle AHB.
Caicul des distances à la méridienne et à sa perpendiculaire , et usage de ces lignes pour former le canevas des opérations de détail .
22. Les deux méthodes que nous avons indiquées cidessus pour former le mis^au-net du canevas d’une carte, ne sont pas celles qui procurent la plus grande exactitude’ possible; parce que si la position d’un point dépend essentiellement de celle des autres points déjà placés, il arrive qu une erreur commise dans la détermination graphique de 1 Un ,<1>eux influe sur la position de tous les autres points ■subsequens. Mais en les fixant à l’aide de leurs distances à eux droites fixes, par exemple, à la méridienne du lieu principal de la carte et à sa perpendiculaire , on rend au
est un ;jIemi-ccrc,e de c»"’re ou de corne, divise en ,8o degres ou en aoo grades, et quelquefois en demi-grades, s’il est d un grand diameire : on en fai, un fréquent usage pour rapporter sur le pap,er les angles mesurés sur le «errain. On s’en sert nnssi pour mesurer un angle sur le papier, et voici comment on procède à tee sujet. On place le centre de cet instrument au sommet de l’angle à mesurer « Ion fa, t coïncider son diamèlre avec un des côtés de cet angle , alors le nombre de grades conteuus dans l’arc compris entre les deux côté* est la mesure de ce même angle.
tnnt qu il est possible leurs positions indépendantes les unes < es autres. Cette méthode exige alors que l’on calcule les ( 'stances dont il s’agit, au moyen des triangles et de l’azi- . mut observés.
[*'g- io.] Pour fixer les idées à ce sujet, soient AX la r'( ienne du lieu A , et AY sa perpendiculaire1, et supposons que les triangles AMM', AmW , etc. . . fassent partie \ Un rcfeau trigonométrique : on demande les coordonnées t8 P°mts » » M , M', etc. . . , c’est-à-dire, les distances V, Pm ; AP, PM; AF, PM', etc. . Si l’angle mAP est a-mut observé (n° ,8), il est clair que tous les triangles
autro °r,.entCS ’ et f*ue l’on connaîtra très aisément les autres azimuts MAP, M'AP', puisque les angles MAM',
tous 1rs T* TT'iA?1 en menant’ Par les sommets de
et à le lan8VS , înG’ deS ParallèleS à la méri^cnne t fiZT T \ COmme 011 levoit à inspection de
côté! de r et tCOmT “ a SUrfaCG de ,a tCrre était Plane > les tande^ SRront les ^poténusesde triangles rec-
glesque 1 on pourra résoudre par le principe de l’art, d a Trigonométrie de M. Legendre, ou de la même maniéré qu’au n° i5.
Al™Ple’ila resolution des triangles rectangles APM , la résol ?Unei? lCS VaIeurs des coordonnées des points M , M' ;
II*» M'M? feradc ** >-
sont ’ comme lcs “ordonnées du point M"
’ r’ M , on aura
