AB :: AB ; BD

AB

d’où

BH 2CD -f- BD ’

Bd’+ aCD X BD = AB*

Pour calculer rigoureusement BD , il faudrait résoudre une équation du second degré ; mais cette hauteur est toujours si petite à l’égard du diamètre 2CD de la terre , que

5o TRIGOJSOMÉT1UE.

la formule précédente peut , sans erreur sensible , être réduite à

BD = , ou , pour abréger, h — — .

De même, pour une autre distance AB =« , on aurait B'D', ou

Les hauteurs du niveau apparent au-dessus du niveau vrai , sont donc entre elles à très peu près comme les carrés des tangentes correspondantes , ou même des arcs auxquels ces tangentes appartiennent.

Sachant que le rayon CD = R = 6366 i98m, ou que le logarithme de 2R = 7,1049101 , et connaissant la distance AB = a , il est facile de calculer la hauteur h dont il s’agit. Cherchons , pour appliquer les principes ci-dessus , les hauteurs du niveau apparent au-dessus du niveau réel pour les distances 4^o et 1 ooom.

La hauteur correspondante à 45om sera donnée par la aa (45oV

formule , et l’on trouvera, en opérant à

2i\ 2 rt

l’aide des logarithmes , que h = om,oi6.

On aura ensuite la hauteur h' correspondante à la distance à = iooo"1, par le moyen de cette prof>ortion à * \ a!% \\ h \ h', ou en valeurs numériques ,

(45o)a ; (iooo)a ;; om,oi6 ; H.

Ainsi 1t — om,or]85. Si l’on devait effectuer d’autres calculs de cette espèce , il serait plus simple de comparer à cette dernière hauteur toutes celles que l’on aurait à déterminer parce que la division s’effectuerait sur-le-champ , eu déplaçant convenablement U virgule décimale , comme col» est évident.

ainsi'qJiî d’“nc f te topographique faite

fournit to„ W.rP qUC. .ICS ChapitreS PrécédeM. rances de n f”6"* neCeMa,r“ Pour calculer les différ . de n,ïf»“ des stations. Voici comment :

L*ïg. 12.] Soient A et B deux des station* ^ i> observé les » . stations ou Ton a

fesa»;i:iAttTVBC;PITSfaU f *’ C^-à-di->

CZ.CV, et par la droite AB. Si^^p^t A TertiCa'eS “«r°„ntedtDpara"è'e à corde terrestre “£

Point B au-dêsTduplet a’l‘ “ haUtenr d“ u fait connaître l'are AD feqnel !u “ etre pris pour sa corde. Ainsi dans le T •Petl1teSSe ’ Peut nous ferons , angle B AD = u ’ annl langle AB]D » °n AD = K , on a , à cause de Z AD =fvDA A ~~ “ ’ » et corde

De plus , ce même triangle donnant

„„ sinJ' = k :: sinii . BD

on a BD , ou

dE =rî-s^if K sin i (<p J*

Sln^ smT7 - >

mais d est évident que

tiuABclrjttriiik<iuadra“‘' ie «ru

cette relation ^'4-^

triangle recti-

partant ,

TRICONOMâTKIX.

Substituant cette dernière valeur dans celle de BD , if

rient enfin

,F Ksinj(*- *)

rfE-^7(7Q + cy

Cette formule est exacte et très commode à évaluer par les logarithmes ; mais la plupart du temps, et dans toutes les triangulations du second ordre, telles que celles qui sont l’objet de cette section , l’on peut faire î C= o y alors à cause

je îm m- — tang m , on a simplement cos m

(2) dE = K tang £ (^' — ^).

Lorsque ï, dE est positif; c’est le contraire si ^'<C. i étant la distance au zénit observée au lieu dont on connaît l’élévation au-dessus d’un niveau fixe, comme celui d’un lac ou de la mer , et ? étant la distance au zénit prise au lieu dont on cherche Félévation.

Les trois angles ZAB, BAD , DAC, valant deux droits.

on a nécessairement , à cause de DAC = iQ — — ,

D’ailleurs

de là

et comme le triangle ADB donne

sin^ ou sin(?Q — <T-f-C) : K :: sin u l dE, «n a, par une seule distance zénilale ,

TÆTK DE» PLANS.

K.sin (iq — ^-4--^ yr

(3) dE = 2/ __ K cos (^ — i C

sin — C) sin — C) *

Si l’on développe le dénominateur de cette valeur , après C C

y avoir substitué J' — - - , au lieu de ^ — C , on aura

dE = -.

K cos { C)

sin — î C) cos î C — cos (/ — ; C) sin ^C* expression qui prend cette forme

K cos (/>— 1Ç)

sin — £ C) cos l C [ i — cot ^ C) tang j C] ’

et qu’on pourrait réduire en série en faisant passer au numérateur le facteur binôme [ i — cot — £C) tang £ CT] f élevé à la puissance — i ; mais , dans la pratique , le premier terme de cette série étant toujours suffisant , l’on a simplement alors

(4) dE — K séc - C cot — jC).

25. Il convient de faire remarquer que les formules précédentes supposent que les points A , B [Fig. i3] sont le» sommets des signaux ; mais il est presque toujours impossible d’y placer le centre de l’instrument. Par exemple , quand on observe le point B, ce centre est souvent en a , c’est-à-dire , plus bas ; et quand on observe en B , ce même centre se trouve en b : les distances au zénit mesurées sont donc ZaB = A , V 6A = A', au lieu de Z AB, VBA. Dans ce cas, on réduit au sommet ou au pied des signaux ces distances au zénit, au moyen de la formule suivante qu’il est aisé de démontrer :

<Al = R,rflU|nA

A étant l’angle observé réellement , rfH désignant la hau-

teur du signal au-dessus du cercle , ou la distance verticale de cet instrument au pied du signal, et R" étant le nombre de secondes contenues dans le rayon. La valeur de dA est additive ou soustractive, selon que l’on réduit A au sommet ou au pied du signal ; c’est-à-dire que l’on a

au sommet du signal

au pied du signal

«T — A — rfA.

Voici le type de ce calcul :

Soient A = ioogr,24o8,

= 99go9a59>

A a ou dl\ = 17"*, B b ou dlV ~ i5m,i.

On aura d’abord , en vertu de la formule ci-dessus , en sachant d’ailleurs , par la triangulation, que.. . . . .

log K = 4,1606823 ,

log = 1 >23o45

log dH! = 1,17898