sin A
l.sin a' = 9,99999
a log R = 5,8393 1
c.logK = 5,8393i
log R" = 5,8o388
log. R" = 5,8o388
log dA = 2,87363
logc/A' = 2,82216
Ensuite , pour la réduction ,
au sommet A , au sommet B ,
A= ioogr,24,o8" A' = gç)oT,^.'5cf -f-<fA= o, 7 /fo 5 + dA' = o, 6 63 g Distance réduite, ioogr,3i'55"5 Ÿ = 99Sr,99'22"9.
Maintenant que l’on connaît ^ et P, on aura , par la formule (2) , la différence de niveau des points A , B. log K = 4,1606823
logtangïO^ — = — 7,4o4643o
logdE = — 1,5653253 = — 36m,r]56.
Il su^ de là que le point B est de 26''*, 76 plus bas que le point A. •
Lorsqu’il n’est pas possible de faire dis observations ré-
ctproques , et que la distance K n’est pas considérable , il est permis de supposer que «K = 2* — et pour lors la formule (2) se change en celle-ci :
(4') ‘ — K cot <T ;
scion que £ sera aigu ou obtus, la hauteur dE sera positive ou négative.
Voilà des formules qui sont dépendantes de la ligne géodésique K ou d’une base horizontale. Il est possible cependant de déterminer géométriquement la différence de niveau de deux points, sans connaître cette ligne. En effet , la formule (2) devient seulement fonction des distances réciproques au zénit et du rayon de la terre ; car , à cause de K = 2p sin ^C, p étant le rayon de la terre correspondant au milieu de la cordc K , et C l’ amplitude de l’arc soutendu par cette corde ou l’angle ACB , on a </E == 2p sin l C tang £ (<T‘ — J) -,
mais par ce qui précédé, — = — - - 1 ; donc
(5) dE = — 2 p cos i -f- <T) tang (^' — J').
Il faudra , pour déterminer le signe de dE , avoir égard à ceux des facteurs du second membre.
En procédant ainsi de signal en signal , on ne déterminerai! que leurs hauteurs relatives ; voici la règle à suivre pour obtenir leurs hauteurs absolues , c’est-à-dire les élévations de leurs sommets au-dessus d’un même horizon, de celui de la mer, par exemple.
Supposons que les points B , B' , B" . . . BW , sommets des signaux , soient inégalement élevés au-dessus d’un horizon commun , de manière que h! sojt l'élévation du point l> au-dessus du niveau de B ; h" l’élévation du point B" audessus du niveau de B' ■ d* la dépression du point B* audessous de B , et ainsi de suite. 11 est évident alors que l’on aura également
TRIGONOMETRIE.
H — D =■ différence de niveau ,
en prenant positivement les hauteurs h , dont la somme est H , et négativement les dépressions d dont la somme est D. Si cette formule a pour résultat le signe 4- , le point Bt") sera au-dessus du niveau de B; et si elle a le signe — le point B(") sera au-dessous du même niveau.
Concluons de là que si E est la hauteur du point B audessus de la surface de la mer supposée prolongée sur le continent , E -f- H — D sera la hauteur de tout autre point au-dessus de ce niveau. Pour avoir ensuite les hauteurs absolues du sol , on retranchera la longueur de chaque signal de la hauteur absolue de son sommet. Toutes ces règles sont assez faciles pour qu’il soit inutile d’en rapporter des exemples.
26. Lorsque du sommet d’une montagne l’on aperçoit l’horizon de la mer, la hauteur absolue de ce point s’obtient aisément au moyen de l’angle observé entre cet horizon et le zénit. En effet , si par le lieu B de l’observateur [Fig. 1 1] on imagine une tangente B A à la surface de la mer, le rayon terrestre AC = p sera évidemment perpendiculaire à cette tangente. Si l’on imagine en outre une ligne de niveau , ou un arc de grand cercle AD compris entre le point A de contact et la verticale VB de l’observateur , la hauteur cherchée sera BD = E ; et comme dans le triangle rectangle ABC l’on connaîtra AC = f et l’angle
B = 2Q — VBA = 2Q — d , la hauteur E sera égale à, l’hypoténuse CB moins le rayon de la terre.
Or, par la propriété de ce triangle ,
CB = - ! - = f ;
sjp(,«C) 0080
et puisque BD = E = CB — p , on a (n* 2)
(\ — cosC^ 2sinajC
cosC ) f cosC
LEVÉ DES PLAH3 5^
Multipliant haut et bas par sinC, puis faisant attention
<lue cosC = tan^ ^ * et que sin c = 2 sin î C cos ï C , il vient
apsin*^C sin G
•in G cos G =ptangiCtangC;
mais l’angle C est fonction de la distance zénitale «î' observée, puisque l’angle extérieur <î' = I<l4.C; partant
E = p tang £ ( ^ — iQ)tang («T' — iQ).
On remarquera enfin que l’angle ï différant très peu d’un angle droit , on a sensiblement
tang ï (^ — |Q)= ï tang(^ — iQ); ainsi , à très peu près,
(6) E=iptangV—iQ)
= ïf tang* de l'angle de dépression.
27. Dans toute la théorie précédente, nous avons supposé qu’un layon lumineux qui partait d’un objet pour venir en peindre l’image dans notre œil, y arrivait en ligne droite : cependant , quand il traverse des milieux d’inégales densités , U éprouve une déviation principalement sensible dans le sens vertical; et ce n’est que suivant la tangente à la courbe qu’il décrit , que nous voyons l’objet. C’est cette déviation que l’on nomme réfraction. Son effet est de faire paraître presque toujours les objets plus élevés qu’ils ne le sont réellement ; et il est d’autant plus grand que le rayon visuel s’écarte moins de la surface de la terre. ( Uranographie de M. Fyancoeur , p. 188.) De là vient que le point B observé du point A, et supposé éloigné de celui-ci de plus de iooo"*, parait réellement au-dessus de son lieu vrai. Comme nous ne pouvons donner ici qu’une idée des moyens propres à évaluer l’effet de la réfraction , puisque nous supposons que
58 TRJOONOMÉTKIE.
les limites eutre lesquelles se trouvent renfermées les opérations du nivellement sont très rapprochées, nous renverrons aux ouvrages déjà cités , si l’on désire acquérir plus de connaissances sur ce sujet. Nous observerons d’abord que les formules (i) et (2) du n° 19 ne changent pas dans 1 hypothèse d’une réfraction. Cela tient à ce que cette réfraction étant la même en A qu’en B , sa valeur doit nécessairement disparaître de l’expression y — ^ , ou , ce qui est de même , quand on fait des observations réciproques et simultanées.
En général , l’angle de réfraction est à très peu près de l’amplitude de l’arc terrestre compris entre les verticales des deux points A, B, dont on cherche la différence de niveau. On le détermine immédiatement en prenant au même moment la distance zénitale de B à la station A [fig. 12], et la distance zénitale de A à la station B ; ce qui exige le concours de deux observateurs. Cependant, lorsqu’on est seul , on tâche de faire ces deux, observations dans les mêmes circonstances atmosphériques. De l’une ou de l’autre manière, soient ï et y les distances zénitales apparentes ; les distances vraies seront respectivement r, <T' -f- r, puisque par hypothèse la réfraction r élève les objets , et est la meme aux deux stations. Alors le triangle ABC procurant nécessairement cette relation
S+ r + ^4-/- = 2QH-C,
Mais la grandeur de l’angle C dépend de la distarice AB'^h donnée par la résolution des triangles; et il est visible que l’on a
p sin J C =r l K ,
ou à fort peu près
sin C = — •
Soit maintenant ^ == n , ou aura r = nC.
Dans l’état moyen de l’atmosphère, ce coefficient de la réfraction terrestre n~ 0,08 , comme nous l’avons déjà dit. En l’introduisant dans les formules (4) et (6) , elles deviennent respectivement , lorsqu’on suppose sec i C = i ,
(4") <Œ = Xoot(J + r — 1Q— Kcot^+.^p^C),
(6') E = if(l + »)‘tangV— iQh
é' étant la distance apparente observée. (Voyez le Traité de Géodésie 1. 1, p. 355 et 356.) Telles sont les formules à employer dans les opérations géodésiques importantes,
La formule (4") , qui est d’un fréquent usage , même en Topographie, peut être mise sous une autre forme très simple, ainsi qu’il suit :
Si l’on mène au point A l’horizontale AD' [Tig. 12) , et que l’on considère le triangle ABD' comme rectangle en D', la hauteur cherchée dE se composera de BD' et de DD'. Or, dans l’hypothèse présente, BD' = Kcot^’, et d’après cc Ra
qui précède (n° 23) DD' = — ; ainsi , à très peu près , rfE=Kcot^-h — .
Mais la réfraction élevant les objets , cette valeur de dE qui dépend de la distance zénitale /, est nécessairement trop grande d’une petite quantité p qu’il s’agit de trouver.
Pour cet effet , remarquons que r = nC = n — > désignant
en général la réfraction à l’unité de distance , on a, pour la distance K ,
trigonométrie.
P* ~ «CK = n — .
Partant
(D dE = K cot ï + — — — .
Il arrive quelquefois, cependant, que la densité de l’air atmosphérique, au voisinage du sol, augmente de plus en plus en allant de bas en haut, ce qui est le cas des réfractions extraordinaires ; alors le coefficient n de positif qu’il est ordinairement , devient négatif. Les observations réciproques et simultanées, dont nous avons parlé ci-dessus, sont propres à faire connaître le signe dont ce coefficient doit être affecté.
C’est au moyen de la formule (4*) , facile à mettre en table , que les ingénieurs géographes déterminent , en levant les détails topographiques , une multitude de cotes de hauteur servant à faire connaître de distance en distance , et dans toutes les directions possibles , les points du sol par lesquels passent les courbes de niveau servant à figurer les mouvemens du terrain , comme on le verra dans le chapitre suivant. On conçoit en effet que si l’on aperçoit le sommet d’un signal dont on a la hauteur au-dessus du niveau de la mer , on obtiendra celle du lieu où l’on se trouve , en observant simplement la distance zénitalc de ce sommet, et mesurant graphiquement , sur la carte , la distance du lieu d’observation au signal dont il s’agit.
Il résulte de ce qui précède, que le nivellement d’un terrain d’une grande étendue s’exécute avec beaucoup de précision par le moyen du cercle répétiteur ; mais cette méthode suppose que les points extrêmes de ce nivellement sont liés par un réseau de triangles , et qu’un des côtés de ce réseau , pris pour base , a été mesuré avec un soin tout particulier. Dans la plupart des travaux civils et militaires, où l’on se propose bien moins de connaître les distances itinéraires que les différences de niveau , ou les cotes de
hauteur j on a recours à des moyens beaucoup plus simples et plus prompts. En effet , à l’aide d’un instrument ou Niveau , qui, comme le Niveau d’eau ou le Niveau à bulle d’air de Chézy , procure sur-le-champ une ligne horizontale , il est facile de rapporter à cette ligne les élévations ou les dépressions des objets. C’est ce que nous avons amplement développé dans notre Traité de Topographie , 2* édition. On verra aussi, à la fin du t. II du Traité de Géodésie , comment on peut déterminer les différences de niveau avec le baromètre. Consultez d’ailleurs sur ce point VAstronom. èlèm par Biot, p. i36, ou la Mécanique de b rancœur, 3e édit. , pag 447 > ou enfin V Annuaire du Bureau des Longitudes.
TRIGONOMETRIE.
