ACB
donc
bc .
s — — sin A ;
c’est-à-dire que Maire d’un triangle est égale à Ifi moitié du produit des deux côtés connus , multiplié par le sinus de l’angle compris.
Soient b z=. 25m,4 ; e = 3om,2 ; A = ^2frti5' ; on aura
Iog b = i,4o4S337 log. £c = 1,1789769 log sin A =9,7887106
log s = 2,3725212; ainsi l’aire du triangle, ou s = 235'"%79-
7° TRIGONOMiTjUE.
Connaissant un côté et les deux angles adjacens.
Dans le triangle ABC, on a, comme on sait,
sin B sin B b
sin C ~~ sin ( A 4- B ) c ’
tle là tirant la valeur de b et la substituant dans la forée
mule «= - sin A, obtenue ci-dessus , on trouve
sin A sin B
2 ' sin ( A -f- B ) ’
expression qu’il est facile de calculer de même par les logarithmes.
Connaissant deux côtés et les deux angles opposés.
Soient ab et AB les quantités connues; on a, n° 3,
s /fta — éa\ sin A sin I
\ 2 ) sin (A — t
Autrement de ce que a l b 1 1 sin A l sin B , on a a — b : a : : sin A — sin B : sin A ;
d’où
a ^ a (sin A — sin B ) 2asin{ (A — B)cos^(A-f-B)
sin A sin A ’
substituant cette valeur dans celle de s précédente et réduisant , il vient
s = a(a~*~ b) sin B cos à ( A -f- B )
2 ‘ cos j (A— HT)
Lorsque a~ b , on a A = B, et co s £ ( A B ) = i ;
dans ce cas,
s = sin A cos A = £ aa sin 2A , ainsi qu’il est aisé de le démontrer directement.
PiioB. III. Trouver l'aire d’un quadrilatère dont on connaît les deux diagonales et l’angle qu elles forment.
En vertu de Tune des solutions précédentes , on a f Fig. 1 8 J ,
aire BEC = — sin E ,
ABE = — sin E,
AED = — sinE,
DEC sin E ;
donc
ABCD = sin E = (l+^iî±f) sin E.
Il suit de là que Y aire d’un quadrilatère est égale à la moitié du produit de ses deux diagonales , multiplié par les sinus de l’angle compris.
Quoique dans l’arpentage , on ait rarement besoin d’évaluer l’aire des figures régulières, je vais donner quelques exemples de calculs à ce sujet.
prob. IV. Mesurer l’aire d’un polygone régulier.
[Fig. 19. ] Si on connaît le côté K d’un polygone régulier et le nombre n de ses côtés, son aire s s’obtiendra à l’aide de la formule
s = \ nKa cot — ,
q désignant le quadrant. L’angle au centre C du pol) gone
étant =» — , sa moitié = et comme le triangle ACD est
rectangle en D , on a
trigonométrie.
ya
CD = - cot X 2, n
Or, l’aire de tout polygone régulier est égale au produit de son périmètre raK par la moitié de son apothème CD ; donc , etc.
Pour appliquer la formule actuelle à un exemple , soient K = 1 2m, et n = 8 , on aura
log K = 1,0791812, idem-=. 1,0791812,
log ^ = o,3oio3oo,
log cot = 0,3827757,
log s = 2,8421681 ;
l’aire cherchée est donc égale à s = 695” c, 29.
prob. V. Trouver V aire d’un cercle dont on connaît le rayon.
L’aire d’un cercle est égale au carré de son rayon , multiplié par le rapport de la circonférence au diamètre , c’està-dire , par *■ = 3,14*^9265 : ainsi , appelant r le rayon d’un cercle, et s son aire, on a
L’approximation sera presque toujours suffisante , en supposant seulement ît=: 3,i 4- Soit, pour exemple, r = i6m, on aura
* = 3,i4x 16 == 8o3mc,84;
Si on voulait operer par les logarithmes , au double du logarithme du rayon, on ajouterait celui de *•, lequel =3 0^971 479 > et la somme serait le logarithme de l’aire demandée.
Il est évident que l’on peut aussi déterminer le rayon d’un cercle dont l’aire est connue.
Paon. VI. Déterminer V aire d’un secteur dont l’arc est de n grades j et dont le rayon = r.
Puisque l’aire s du secteur est à celle du cercle comme l’arc du secteur est à la circonférence entière , et que deux arcs d’un même cercle sont entre eux comme les nombres de grades qu’ils comprennent, on a
s l •k r1 par conséquent
d’où
log surf, du secteur = log n - f- 2 log r -f- 7,89508988.
Phob. VII. [Fig. 19. J Trouver l’aire du segment dont l’arc comprend n grades , et dont le rayon = r.
L’aire du segment A«B est égale à celle du secteur ACBnA , moins l’aire du triangle ABC. Or , par ce qui précède ,
aire du secteur = n ~ — ,
et celle du triangle ACB — - sin n •
donc
log aire du segment = 2 log r -f log J (n — - sin n\
»Si l’on fait a ~ u - on aura
log a =log n + 8,1961 19877.
Partant ,
log aire du segment = 2 log / + log ~ (a qr sin n) ,
le signe — ayant lieu lorsque n <200, et le signe -f- lorsque n > 200.
Prob. VIII. Déterminer l'aire d’une ellipse dont on connaît les deux axes.
II est démontré, dans tous les traités de calcul intégral, que l’aire d’une ellipse est équivalente à celle d un cercle dont le rayon serait moyen proportionnel entre les deux demi- axes. Cela posé, soient a et b ces deux demi-axes , et s l’aire cherchée, on aura
s = irab.
Supposons que a ~ 12 , et que b — io, on trouvera
s = 3, 1 4 X i2 X io = 3,i4 X i2o = 376" %8.
De La mesure des polygones irréguliers.
3o. [Fig. 20 ] Déterminer l'aire du polygone irrégulier ABCD levé suivant la méthode du n° 28.
Ce polygone étant, par suite des opérations faites sur le terrain , décomposé en triangles et en trapèzes rectangles , on aura sa superGcie ainsi qu’il suit :
Aire du triangle (a) = (1 1,6) (4,2). . . = 4^nc>72
du triangle (b) = (21,45) (8,5). . i3q , 42
du trapèze (c) =. (21) (7,5) . 157 , 5o
du trapèze (d) = (i3,7) X 7 • • • 9"* > 9°
du triangle (<?) = (*9>4) (3,2)... 82 , 08
du triangle (/) = 5x5 . 25# , 00
du trapèze (g) = (1 3,3) (26,85).. 357 , 10
du trapèze [h) = (1 1,1) (1 1,4). . . 126 , 54
du trapèze (£) = 9 X 5 . 4^ > 00
Somme . io57'nc,26
Triangle (/) soustractif =3X2.. 6
Aire effective du polygone. . ' > o5i m ‘,26
Ainsi l’aire du polygone est de io ares 5i mètres carrés ' 0.6
ioo’
Si le terrain à mesurer était terminé par une ligne courbe , on abaisserait sur la base AX menée intérieurement, autant de perpendiculaires qu’il serait nécessaire pour pouvoir considérer, sans erreur sensible, le périmètre du terrain comme un assemblage de petites lignes droites , et le calcul de la superficie se simplifierait beaucoup en rendant toutes ces perpendiculaires équidistantes; car il est aise de démontrer que, dans ce cas, Vaire cherchée e$t égale au produit de la distance commune de ces perpendiculaires j par la somme faite de la demi-somme des perpendiculaires extrêmes , et de la somme des perpendiculaires intermédiaires . On entend par perpendiculaires extrêmes 3 celles qui passent par les extrémités de la base , et qui font partie de la limite de la figure; ainsi quand cette figure se termine en pointe aux extrémités de la base , il suffit, pour avoir la mesure de sa surface, de multiplier la somme des perpendiculaires intérieures par leur distance commune.
Déterminer l aire d} un polygone rectiligne quelconque mesuré au graphomètre ou au cercle répétiteur.
C F' 8 2I-] Soit le polygone ABCDE, dont il s’agit d’évaluer la superficie : on mesurera tous les angles intérieurs et tous les côtés de ce polygone , et la vérification des angles devra se faire sur le terrain même, afin que si l’on découvre une erreur, on puisse la rectifier sur-le-champ. Cette vérification s’effectue à l’aide de ce principe connu, savoir: que la somme des angles intérieurs d’un polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés moins deux.
flans l’exemple actuel;, on a, par l’observation,
TRIGONOMETRIE.
angle A = i2oSr‘
Somme = 6oo«r*
laquelle est égale à celle des angles du pentagone ABCDE, puisque 200?'- x (5 — 2) = 6oo?r.
Dans le cas où l’on aurait une faible erreur en plus ou en moins , et cela est très ordinaire , on diminuerait ou l’on augmenterait chaque angle de cette erreur divisée par le nombre des côtés du polygone. On suppose ici , toutefois , que les angles sont tous observés dans le même plan et aux sommets des angles du polygone; ce qui peut presque toujours se pratiquer ainsi dans les opérations de détail à l’aide d’un théodolite , ou bien quand le graphomètre ou le cercle répétiteur est garni de lunettes plongeantes , auquel cas son limbe se dispose toujours horizontalement (n° 9).
Il est nécessaire aussi de vérifier sur le terrain si les longueurs des côtés de la figure sont exactes. Pour cet effet , on inscrit le polygone dans le rectangle xyzt , dont on détermine les quatre côtés , en résolvant les triangles rectangles BGc , CDy , EDz , AE* , dans chacun desquels on connaît l’hypoténuse et les angles. On est certain alors qu’il ne s’est glissé aucune erreur dans la mesure des côtés du polygone, lorsque ceux opposés du rectangle circonscrit sont égaux. Voici le calcul des côtés des triangles dont il est question.
\ log sin 32«r- == 9,6828250
Triange Jj0g20,m. __ 2, 3031961
^ Jlogcos32*r* = 9,9426561
Triangle
DÇy
1 >97297fl4 = 93 >97 = cr
Jog sin i8*r,io = 9,44793*6 log 335m- = 2,525o448
