EA
sin 20^r‘
COS 20ffr‘
76 ,17 = Et
Comme chaque côté de l’angle droit .d’un triangle rectangle est égal à l’hypoténuse multipliée par lesinusde l’angle opposé à ce côté , en supposant toutefois le rayon des tables égal à l’unité, il est clair que pour avoir , i°. le logarithme du côté B.r du triangle BCa , il faut au logarithme de 20 imajouter le logarithme sinus de 32*r*; 20. que pour obtenir le logarithme du côté Cæ, il faut de même au logarithme de 201 ajouter celui du cosinus de 32*r, et ainsi pareillement pour tous les autres triangles dont il est d’ailleurs très facile de déterminer les angles aigus.
Il résulte de ce calcul que
xt = 445-, 68 , yz = 445-, 65 , xy ■=. 270 ,11, zt = 270 , 04.
On peut donc conclure de ces résultats que les mesures ont été assez bien prises.
Pour déterminer maintenant l’aire du polygone ABCDE , on calculera celle du rectangle xyzt, et on en retranchera les aires des quatre triangles BCat , CDv , DE z , AEf ; le
reste sera l’aire cherchée. Mais auparavant il faut faire disparaître les petites erreurs qui existent entre les longueurs xt,yz , et xy, zt. On prendra donc pour longueur réduite du
rectangle Xt = 445m?66 y et pour largeur moyenne
= 27o>7. On pourra ensuite augmenter sE de
om,o3, et diminuer Car de om,o4, parce qu’il est plus convenable de faire porter la correction sur les plus longues lignes. Quant à la correction relative à la longueur du rectangle , elle est si faible qu’il est inutile d’y avoir égard dans le calcul des triangles dont il s’agit. Cela posé, on aura, en opérant par les logarithmes , pour abréger,
Logarithmes des aires.
Rectangle xyzt.
base 2,6490037 hauteur 2,43 14763
5,o8o48oo
Triangle BCx
B. 1,9860211 H. 2,2457594 comp. log 2 = 9,6989700
Triangle DCy.
B- l>9729764 H. 2, 5072501 comp log 2 = 9,6989700
4>i79ï 965 i5io7 > 6
Aires.
De Vautre part... 23633 , 7 120369 , \
Triangle EDz.
B. 2,0937836 H. 2,2875778 comp log 2 = 9,6989700
Triangle AEl
conip log 2 = 9,6989700
366o8m c, 1 — 366o8 , i Aire du polygone . 8375imc,3
Il n’est pas toujours possible , comme dans cet exemple , de mesurer tous les côtés et tous les angles d’un polygone ; souvent même on u’a d’autre parti à prendre que de choisir pour base unique un des côtés , et de déterminer les sommets des angles par intersections, ainsi qu’il a été enseigné au n° 21. Voyons donc comment on peut, dans ce cas, en évaluer la surface.
Soient ABCDE [lig. 243 le polynôme convexe proposé , AB=a la base mesurée *, soient en outre EAB=e,DAB=r<^, CAB = y les angles observés au point A, et EBA —t, DBA = P, CBA = y', les augles observés au point B. Pour obtenir à l’aide de ces seules données , l’expression analytique de l’aire de ce polygone, nous le concevrons divisé en triangles qui aient leurs sommets à l’une des extrémités de la base AB j tels sont, par exemple , les triangles EAD, DAC, CAB. Or, d’après ce qu’on a vu au n° 29,
surf. EAD = X AD g.n jr^j) •
80 trigonométrie, etc.
mais dans le triangle AEB on a
t a sin t
Sin (. + •'):« " si« ■ : AE =%;„"(,+ 7/
Dans le triangle DAB on a pareillement
sin (<T + «O • a •• sin ^ A.D = s;n (<T -(- J')’
Introduisant ces valeurs dans l’expression précédente ,
on obtient , .
a9 sin £ sin à
f. EAD = — -
rt .sin (i —
2 sin (e -J- t) sin ^ )
Concluons de là que
a9 sin P sin-/ -„r*
f .BAC— — sinÿ + sin (y +.7 ') *
r r*R £ sipysiny
2 sin(y-f-y')
Par conséquent l’aire cherchée, ou
sin i sin S' sin ( t — J) sin ( £ -f- «' ) sin ( P -+■ à* ) sin S' sin y' sin (J — y)
f. AEDCB = i c? 1 +
sin O' -f P) sin (y -f- Y ) sin y sin y sin (y -f- y')
Voilà tout ce que je me suis proposé de dire ici concernant le levé des plans et le calcul des surfaces, par les méthodes les plus simples ; cela me paraît , en effet , suffisant pour ceux qui ne veulent faire, sur le terrain , des applications de la trigonométrie que pour leur utilité personnelle ; mais les Traités de Géodésie et de Topographie forment une doctrine complète à ce sujet , et réunissent plusieurs théories importantes que j’ai principalement développées en faveur des Ingénieurs qui dirigent ou exécutent de grands travaux géodésiques.
