CHAPITRE PREMIER

De la Polygonométrie.

3i. On entend par polygonométrie l’art de déterminer dans un polygone rectiligne quelconque plusieurs de ses parties à l’aide de celles qui sont connues. Pour effectuer de telles operations , il faut donc , comme pour les triangles , connaître les diverses relations qui existent entre les côtés et les angles d’un polygone. Ces relations, qui sont autant de théorèmes fondamentaux , donnent lieu par leur combi-

naison à d’autres théorèmes ou propriétés de cès figures. Les premiers essais qui furent faits en ce genre sont dus à Lambert ", mais ce géomètre fie s’occupa que des quadrilatères, et encore se borna- 1- il à indiquer la marche à suivre pour former une tétragonométrie complète. Après lui, d’autres savans étendirent cette théorie \ entre autres Lexell, dans deux excellentes Dissertations insérées dans les 19e et 20e volumes des Mémoires de Pètersbourg. Enfin , de nos jours , MM. Lhuilier de Genève et Carnot ont enrichi cette matière de leurs propres découvertes. Nous nous bornerons ici à démontrer les propositions les plus importantes de la Polygonométrie.

Théorème.

32. Dans tout polygone plan J chaque côté est égal à Ut somme de tous Us autres , multipliés chacun par U cosinus de l’angU qu’il forme avec le premier.

[ Fig. 22. ] Ce théorème est évident à l’inspection de la ligure -, car dans le quadrilatère ABCD la base AB est égale à la somme des segmens Ad, de, cB , et chacun de ces segmens est égal à l’hypoténuse dn triangle auquel il appartient, multipliée par le cosinus que cette ligne fait avec AB ou avec sa parallèle c'D.

Soient donc AB = a, BC = b , CD = e, DA = d-, et désignons par (a , b) l’angle ABC , par {a , c) l’angle CDc , par (a , d) l’angle BAD ; on aura

a = h cos (a , V) + c cos (« , c) -f d cos (a , d).

Cette proposition , qui sort de base à la théorie que nous allons développer , n’est pas restreinte aux polygones plans , comme il est aisé de le démontrer -, et l’on conçoit bien qu’elle s’applique aussi à tm polygone d’un plus grand nombre de côtés que celui que nous considérons en ce moment.

11 est entendu qu’il ne s’agit, dans la formule précédente, que des angles intérieurs de la figure : alors s’il s’en trouvait d’obtus, leurs cosinus seraient négatifs. Voyez pour la règle des signes qui doivent affecter les lignes trigonométriques , la Trigonométrie de M. Legendre , ou celle de M. Lacroix, ou le n° 2 du présent Ouvrage.

Théorème.

33. Dam tout polygone , la somme de ses cétès multipliés chacun par le cosinus de V angle que forme sa direction , prise dans le sens du périmètre, avec une droite quelconque tracée à volonté dans le plan de ce polygone, est égale à zéro.

[T ig. 23.] Soit AX la droite h laquelle on rapporte tous les côtés du polygone ABCD , et nommes * cette droite indéfinie. On aura en vertu du n« précédent, et en faisant . usage de la notation qui y e6t énoncée ,

Aè = b cos (6, x) + c cos (c, x) + dcos (d, x); d’un autre côté , le triangle rectangle AB6 donne

, „ ÂÂ = a cos (BAX) :

de la

a cos (BAX) = b cos (b , x) + c cos (c , x) + d cos (d , x) j

mais en général cos (aoogr — z) = — cos x , donc

cos (BAX) cos (BAX') = - cos (a, x) : donc v

ucos (a, x) + b cos(i , X) + c c„s (c , x) +d cos {d> x) = a

Ainsi dans le calcul de cette formule , comme dans toutes ce es que nous donnerons par la suite , il faut avoir égard aux signes des cosinus. La règle des signes est même sousentendue nécessairement dans l’énoncé de la proposition actuelle, qui, sans cela , ne serait point exacte.

PRoÉOSITIOtfS

Théorème.

34. Dans tout polygone , le carré d’un côté quelconque est égal à la somme des carrés de tous les autres côtés , moins deux fois les produits de tous ces autres côtés multipliés deux à deux et par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent (*)•

[Fig. 24.] Soient toujours AB = a , BC = b , CD = c , DA = rf, -h , on aura, par le théorème précédent ,

= b cos (a, b) + <-• cos (a, c) + d cos (a , d) ,

b = « cos (a , 6) + « cos {b , e) + d cos (* , «0 ,

c = a cos (a, c) + b cos (&, c) + d cos (c , c/) ,

</ = a cos (a, d) 4- b cos (A, d) 4- c cos (c , d) ,

Multipliant par « la première de ces équations , par b la seconde, par c la troisième, et par d la quatrièmeensuite étant les trois derniers produits du premier , il viendra

aa=644-c14-da — 2[èccos(Z>, c)-\-bdcos(b, d)+cdcos(c, d)~], résultat qui démontre la chose , et fait voir que la propriété connue du triangle oliliquangle n’est qu’uu cas particulier de ce principe général.

Pour introduire dans la formule ci-dessus les angles mêmes du polygone, on remarquera que angleO, c)= C, angle (6, oO=c+D— 2008', angle (c, d)z= D, donc

aa__ £*4- ca 4- d3, — 2.[bc cosC — bd cos (C4-D)4-crf cos D]i

,♦) cettc proposition et ta precedente seraient encore vraies, quand même le polygone serait gauche , c’est-à-dire n’aurait pas ses quatre c6t&> dans un même plan.

I)E cÉOMÉTRIE. 85

l>a même méthode appliquée au pentagone ABCDE donnerait

aa=£a4*ca

>4-rf*4 e..[^

bc cos C — àrfcos(C-f-D)-f-6ecos(C+D-j-E)'“ -|-Cû?cos D — ce cos (D -f* E) de cos E

équation qui a encore lieu pour tout autre polygone , quel que soit le nombre de ses côtés, et au moyen de laquelle on est en droit de conclure que si les angles d’un jiolygone varient d’une manière quelconque , mais que les cotés conservent leur grandeur , la somme des produits de tous ces côtés multipliés deux à deux et par le cosinus de l’angle compris sera toujours une quantité constante. Eu effet , en faisant a = o , cette propriété se manifeste tout d’abord pour le quadrilatère.

Théorème.

35. Le double de Vaire d'une figure rectiligne quelconque est égal à la somme des produits de ses côtés . excepté un j multipliés deux à deux et par les sinus des angles qu'ils comprennent.

[Fig. 2a.] Désignons par S l’aire du quadrilatère cherchée. Si l’on prolonge CD et AB jusqu’à leur rencontre en O , l’on aura

aire ABCD ou S = OCB — ODA ;

et si Ion fait OA = cl , OD = y , le principe connu donnera

OCB = ï (c -f- y) (a 4 et) sin O ,

ODA= [ ety sin O ;

pour lors

^ = â (c ■+■ y) (« -f- «) sin O — j aty sin O = { ac sin O 4- ~ ay sin 0 41^ sin O.

D’ailleurs le triangle ODA donnant

'j / d sin D

« l d !! sin D : sin O, ( J sin O 1

y : d :: sin A : sin 0,\ °naura ) d sin A

et la valeur de S deviendra

S = 5 ac sin O -f- \ ad sin A -\m\cd sin D.

On peut introduire dans cette formule les angles du polygone , car

(a,c)=0=A + D— aoogr, (a,ûO=A, (c,rf) = D ; donc

S == ï [ad sin' A — ac sin (A -J- D) -f- cd sin D].

Un procédé analogue donnerait pour l’aire du pentagone ABCDE [fig. a4] ,

, r~ab sin B —ac sin (B — f— C) — f— «a? sin (B -f- C-f- D)“*j * L+ bc sin C — bd sin (C -f- D) -1- cd sin D J *

et ainsi de même pour tous les autres polygones.

Il ne faut pas oublier, en appliquant ces formules, qu’il s’agit, comme dans les n08 précédens, des angles intérieurs du polygone. Le principal avantage de ces memes formules, c’est qu’elles dispensent de construire une figure. Elles se présenteraient sous une forme plus symétrique , relativement aux signes , si au lieu des angles intérieurs du po lygone , on employait les angles extérieurs ; c’est-à-dire ceux qui sont formés par un côté de la figure et le prolongement du côté suivant. 11 existe d’autres méthodes pour évaluer l’aire d’un polygone , ainsi qu’on l’a vu précédemment. En les employant concurremment, on aura des moyens de vérification.

Idée de la résolution des Polygones.