Fig. 22 J Connaissant dans le quadrilatère ABCD

DE OÉOMÉTBIE. 8<J

les côtés b , c , d, et les angles A , D ; on demande les autres parties de ce polygone.

On voit sur-le-cliamp que l’ordonnée Ce est égale à b sin (a , b) — c sin (a , c) ■+■ d sin (a , d) , ou bien que

b sin B = d sin A — c sin (A 4- P) ; ainsi on obtiendra immédiatement , par cette formule , la valeur de l’angle B.

Maintenant pour trouver le côté a , on aura recours à la formule

a sin (b , a) = c sin Çjb , c) -f- d sin {b, d), ou

a sin B = c sin C — d sin (C -f- D) , qui est analogue à la précédente, et dans laquelle tous les angles sont connus , puisque l’on a ( b , c ) = 4<>Qf5r — A — B — D ; ou bien l’on emploiera la formule a = b cos Ça , b) -|- ccos (a , c) -f- d cos (a , d) , démontrée au n° 3a.

De ce que l’on a

b cos (c , b) = a — c cos (a , *) — rfeos (a, d) et

ôsin Ça , b) = c sin (a, c) -f- d sin Ça , d) ;

il s’ensuit qu’en divisant ces deux équations l’une par l’autre ,

tang (a, b), ou tang B = et par la même raison

d sin A — c sin (A 4- D) a — d cos A -f- oos (A -f- D)

tang A = ■JgsinD — ôsin(C4-P)

d — ccosD -\-b cos (C+ D)'

Telle serait la formule dont il faudrait faire usage pour déterminer le troisième angle d’un quadrilatère, si l’on connaissait trois de ses côtés et les angles compris entre les côtés connus.

£Fig. 24 3 demande de résoudre de la même manière le pentagone ABCDE.

L’inspection de la figure fait assez connaître que l’on a , comme ci-dessus ,

b sin B — e sin A — d sin ( A -f- E) c sin (A + E D) ; mais si au lieu de calculer B il fallait déduire de cette équation la valeur de l’angle A , on serait obligé de développer les facteurs dans lesquels cet angle se trouve engagé. On aurait , par exemple ,

b sin B = e sin A — d sin A cos E — c? cos A sin E

-|- c sin A cos (D -J- E) -4* c cos A sin (D -f- E) 5

et après avoir substitué pour cos A sa valeur {/ 1 — sin* A , on verrait que l’inconnue sin A serait donnée par une équation du second degré.

Lorsque dans l’équation précédente l’on a b = o, le pentagone se change en quadrilatère, et pour lors on a

d sin E — c sin (D -f- E) tang A = ^ cos E -f- c cos(D + E) ’

ou en employant la notation qui convient au quadrilatère ABCD ,

c sin D — b sin (C -f- D)

tang A — c cosD -f- b cos (C -f- D)

comme ci-dessus.

Tels sont quelques-uns des cas qui se présentent dans la résolution des polygones, et que l’on pourrait traiter par la simple Trigonométrie , comme je l’ai fait voir ailleurs. J’engage ceux qui veulent acquérir des connaissances plus ptendues sur cette matière et sur les propriétés de ces figures, à lire la Polygonométrie de M. Lhuilier, et la section IV de la Géométrie de position de Carnot , deux des ouvrages les plus remarquables en ce genre.

Nous allons chercher maintenant les propriétés de l’étendue, par une autre voie analytique.

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