CHAPITRE II

Notions préliminaires sur V application de V Algèbre à la Géométrie.

Equation de la ligne droite et conséquences qui en résultent.

37. La plupart des formules suivantes n’étant qu’une récapitulation des principaux résultats analytiques connus , nous renvoyons, pour tous les éclaircissemens que l’on pourrait désirer, aux ouvrages qui ont été publiés sur cette matière ; et nous prévenons , une fois pour toutes , que , pour éviter les redites , les numéros qui se rapporteront au Traité d’application de V Algèbre à la Géométrie par M. Lacroix ( 7* édition) , seront seulement accompagnés des deux lettres L. C.

Une droite qui passe par l’origine des coordonnées rec tangles , a pour équation

y = ax,

a étant, la tangente trigonométrique^le l’angle formé par celte droite et par l’axe des abscisses , et x , y , étant les coordonnées courantes , ou l’abcisse et l’ordonnée d’un point quelconque de la droite.

L’équation d’une droite qui ne passe pas par l’origine des axes Qfig* 25] , est généralement représentée par y = Ax -f- B,

la quantité toute connue B étant l’ordonnée correspondante

a x = o. Nous supposerons en général les coordonnées d’un point positives ; autrement, nous ferons remarquer la circonstance qui nous oblige à les prendre négativement.

Si le cours d’une droite est particularisé par l’équation

y — ax b y

c’est alors le cas de la figure 26.

S’il l’est par l’équation

y = — ax - f- b ,

c’est le cas de la figure 27.

S’il l’est par l’équation

y — — ax — b ,

c’est le cas de la figure 28.

38. L’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées est x~a.

De même l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses est y ~ b.

3g. Une droite assujettie à passer par un point dont le s coordonnées sont « , fit et à faire avec l’axe des al>scisses un angle dont la tangente est a, a pour équation y — fi = a(x — *).

Si cette droite devait passer par un autre point et', fi', son équation serait de même

y — fi' — a (x — «O •

Par conséquent , erf éliminant « entre ces deux équations, celle d’une droite passant par les deux points dont il s’agit serait

4o. Deux droites sont parallèles entre elles lorsque leurs équations sont respectivement

yzz.ax + b, y zzzax + b' $

c’est-à-dire, quand le coefficient de x est le même de part et d’autre.

4». Aucune des équations précédentes ne change de forme lorsque les coordonnées x, y , sont obliques; mais alors a, qui est le coefficient de x dans ces mêmes équations , désigne simplement le rapport d’une ordonnée à l’abscisse correspondante. Ainsi , en désignant par p une droite quelconque , par (p , x) et (p , y) les angles qu’elle fait respectivement avec l’axe des x et celui des y , on a

sin ( p , x ) sin (p, x)

a~sïn sin (x, y — p , *) ’

et par conséquent

sin (p > *) sin (p,jk)

est l’équation de la droite dont il s’agit, rapportée aux coordonnées obliques.

42. Deux droites représentées par les équations aux coordonnées rectangles

yz=:ax + bt y = a!x -f- b'

sont perpendiculaires l’une à l’autre , lorsque l’équation aa! ■+■ 1 = o a lieu ; c’est-à-dire , lorsque a est avec un signe contraire la cotangente de l’angle dont a est la tangente.

43. Si l’équation d’une droite est y = ax -f- b , la longueur de la perpendiculaire abaissée sur cette droite d’un point dont les coordonnées positives sont et , fi , sera exprimée par

— a et — b

le signe supérieur ayant lieu pour le cas oii la droite est située entre le point donné et l’axe des abscisses , et le signe inférieur ayant lieu pour le cas où le point donné est entre la droite et l’axe des abscisses.

44- Deux droites, ou deux lignes quelconques qui so coupent, ont à leur point d’intersection les mêmes coordonnées; ainsi on déterminera analytiquement ce point , en résolvant deux équations entre deux inconnues.