aa

!/(»+«*) (' + «'“) ’ le sinus du meme angle est

et sa tangente est

le rayon des tables étant égal à l’unité. Mais lorsque a est négative, cette dernière expression se change en

1 — aa'

Dans le premier cas , l’angle dont il est question est la différence des angles dont les tangentes sont a , a ; et dans le second cas, il en est la somme.

46. Il est intéressant de chercher les modifications qu’é7 prouvent les résultats précédens, lorsque les droites sont rapportées à des axes obliques. Parmi les moyens que l’on peut employer à cet effet , celui qui dérive de l’ingénieuse théorie développée dans le na 9 de la Correspondance sur l’École Polytechnique , par M. Français , officier au corps royal du Génie, me parait le plus naturel et le plus élégant , et mérite d’être exposé dans les ouvrages élémentaires.

Or. C.& OMÉTRir.

Par exemple , soit

l’équation d’une droite p, passant par l’origine des axes , cl rapportée à des coordonnées obliques x ,y. Si ^(O ? JK(0 sont les coordonnées rectangulaires de l’extrémité de p , et si l’axe des *(,) coïncide avec celui des x} la partie de l’axe des abscisses comprise entre les ordonnées y et sera , en vertu de la propriété du triangle rectangle ,

d’où

*C0 — x —J cos (x, y),

xC,) = x+ycos(x, y)-,

mais les trois droites x ^ , y et p formant un triangle rectangle, on aura encore

*(0 = P cos (p , x) ; ’

égalant donc ces valeurs , et faisant attention que .

x = a.f , y — /3p , on aura

cos (p , *) = et /3 cos (*, y) ; ou

cos(p, *) = ^0+.ycos(x, y)] -, (i)

on trouverait de même que

cos (p > y) = fi + A cos (x , y) , ou

cosCp* J,)=- [>-f-*cos(x, y)"]. (2)

Puis, si de l’extrémité de x on abaisse une perpendiculaire sur la droite p , cette droite sera évidemment composée des deux parties * cos (p , x) , y cos (p , y ) ; de sorte qu’on aura

P = AT cos (p, x) +y cos (p , y) , (3)

partant

1 = et cos (p , *) -f fi cos (p , y ) ; (m)

et si on multiplie par p tous les termes de l’équation (3), ensuite qu’on ait égard aux relations (i , 2) , on arrivera à cette propriété connue du triangle obtusangle fxy, savoir :

t' = x% +y+2xycos(x , y)î (4)

ou , ce qui est de même , on aura cette relation

I = + P cos (x,y) ; ( n )

puisque

Nous ferons remarquer, par occasion , que les équations (1,2,4) seraient celles qu’il faudrait employer immédiatement pour déterminer, en Mécanique, l’intensité et la direction de la résultante de deux puissances , données elles-mêmes d’intensité et de direction , et appliquées au même point.

Il est aisé de voir en oatre que dans le triangle fxy , on a

. , . y sin (* , y)

sw (,,*)=* - ±JJL£,

sin(f,.y) =

*sin(x,j)

Ainsi , èn divisant ces équations par celles (1,2), vient

tang(p,x) =

tangCfj y) —

y sin (* , y )

X sin(x, y) ^+*cos(*,y)'

Concluons de ce qui précède , que si l’équation d’une autre droite passant par l’origine est

fi'x = ct'y, ouV=^ = ^,

on aura entre les coefficiens st' , fi' , les mêmes relations qu’entre et , fi.

IïE fiéoMÉrRlE. 9S

Voyons maintenant quelle est l’expression du cosinus de l’angle formé par les deux droites p , p'. Si l’on désigne par x , y les coordonnées de l’extrémité de p , et par x , y celles de l’extrémité de p’, on aura pour le carré de la ligne qui joint ces deux points

pa 4- p'a — yp cos 0 , p')=(x — x’Y -h C y — /)*