x — x') (y— y) cos(* , y)-t
développant le second membre , ensuite substituant pour x,y f x', y', leurs valeurs respectives ap , fip , ap' , fi'p', et réduisant à l’aide de la relation ( n ) et de son analogue en a', fi’ 7 on obtiendra
cos (p , pf) = etet -f- fifi' 4- (a. fi' 4. et' fi) cos (ar , y) , et par suite
cos (p , p') == * cos (/, x) 4- fi cos ( p y y)
= a! cos (p , *) 4- fi' cos C P > y)'
Nous pouvons vérifier cette expression ,car elle doit coïncider avec celle du n° lorsque les axes sont rectangulaires. En effet, il résulte de cette hypothèse , que
^ = tang(p»*) = a; -7 = tang (p , *) = a ; a <t
et que
cos (p , y) — sin (p , x) , cos (p', y) = sin (p', x) ; ainsi l’expression dont il s’agit devient
008 (P > P') = 0 + ad ') * cos (p', x)
= (1 4- aa') et cos (p , x).
Dans la même circonstance les valeurs ci - dessus de cos(p» et cos ( p' , x) se réduisent et sont respectivement a. , a' ; donc , à cause de...,’ .... * . . .
cos f p » x ) — - - . 1 ■ — - , on a , comme au
V I -f- tang4 (p , x)
n° cité ,
ruotosiTioN»
cos (p, p') =
i -I- ad
Complétons cette théorie , et dans cette vue cherchons la relation qui doit exister entre les coefficiens des équations de deux droites perpendiculaires entre elles. Pour cét effet , si nous faisons attention que la longueur de la ligne p est la distance de l’origine à la droite perpendiculaire à cette ligne et passant par son extrémité , nous devons en conclure que l’équation de cette perpendiculaire est P =X cos (p , x) 4 -y cos (p , y).
Si donc , pour abréger, l’on fait
cos (p , x) = A , cos (p , y) —■ B , la relation (m) sera
Ast + 13/3 = i :
telle est celle qui doit avoir lieu entre «e , fi , A , R, pour que les droites données par les équations aux coordonnées obliques , savoir ,
fi
y=z-X, A.i+Bj/ = p
soient perpendiculaires l’une à l’autre. On a aussi
A = a + ficos(x,y), B = /3-f cecos(jf, j')?
d’où l’on voit que quand cos (x, y) = o , ces valeurs satisfont à l’équation de condition du n° 42-
L’équation précédente Ax -f- By = p , d’une ligne droite , prend , en la divisant par p , cette forme très simple ,
et ne contient de la sorte aucune constante superflue. Celles sont appelées les paramètres de la droite , et représentent respectivement les portions des axes comprises entre cette ligne et l’origine des coordonnées ( p. Zo'j . L. C.)
DK GÉOMÉTRIE.
Equation du cercle et solution du problème concernant un cercle qui en coupe deux autres.
47- L’équation générale du cercle aux coordonnées rectangles est
et et fi étant les coordonnées du centre , et r le rayon.
Lorsque l’origine est rapportée à l’extrémité du diamètre, l’équation du cercle devient
y* = 2 rx — xa;
et quand l’origine est au centre, on a simplement -b .y* = r\
Il est facile de s’assurer que l’équation la plus générale du cercle aux coordonnées obliques est, d’après le n° 46 ,
(x — *)• + (y — fi)'+ 2 (y (y- 0) cos (x, y) = r\
Ainsi les trois équations ci-dessus ne sont que des cas particuliers de cette dernière.
Pour tirer quelques conséquences utiles de l’équation (1), résolvons le problème suivant :
PrOb. Supposant qu’un cercle C en coupe deux autres , C' C"; on propose de déterminer le point de concours des deux cordes d'intersection qui sont communes aux cercles CG, CG'.
Solut. Désignons respectivement par r, r , r, les rayons des cercles C, C', C", et par a, fi les coordonnées rectangles du ier cercle. Prenons le centre du cercle C' pour origine des axes , et le centre du cercle C" sur l’axe des x à une* distance de cette origine égale à
Cela posé, les équations de ces courbes circulaires, rapportées à des coordonnées rectangles , seront
(*-*)‘ + Cy — AY = j*, (1)
et si l’on suppose que les deux premières aient lieu a la fois, ou , ce qui est de même , que les x , y, soient les coordonnées d’un même point , on aura , en soustrayant ces équations l’une de l'autre ,
-2.9.x + 2/3y = r 1 — ra + eta -h fi7 '> (4)
c’est celle de la ire corde.
Si l’on suppose pareillement que la première équation et la deuxième aient lieu en même temps , il viendra , en les soustrayant,
2se" x — 7.ux — 2/3? — r* — r"a -J- a"a — a* — /3a -, (5)
c’est l’équation de la 2e corde-, et puisqu’au point de concours de ces deux ligues les valeurs de x, y sont les mêmes, on aura sur-le-champ l’abscisse de ce point en ajoutant les équations (4, 5) , c’est-à-dire
Il suit de là , que le point cherché est sur une droite perpendiculaire à la ligne qui joint les centres des cercles C, G"-, cette droite est ce qu’on appelle Vaxe radical de ces cercles , soit qu’ils se coupent , soit qu’ils ne s’altei gnent pas. Son équation s’obtient de suite en feignant que les équations (2 , 3)* s’accordent entre elles -, et comme elle est tout-à-fait indépendante du rayon et de la position du centre du cercle C , il est évident que si l’on décrit arbitrairement un cercle qui coupe les deux autres C et C donnés, les deux cordes qui joignent les points d’intersection concourront à un point de l’axe radical.
Le point où cet axe rencontre la ligne des centres est dit le centre radical de ces mêmes cercles. La différence des carrés de ses distances aux centres des cercles est donc é<rale à la différence des carrés des rayons respectivement.
Une propriété de l’axe radical de deux cercles est que les tangentes menées de l’un quelconque de ses points à ces
deux cercles, et terminées à leurs points de contact, sont égales entre elles. (Voyez sur ce sujet, dans les Ann. math. de M. Gergonne, un mémoire intéressant sur la théorie des contacts des cercles, des sphères , des cylindres et des cônes par M. Durande, tom. XI.)
Monge appelle centre de similitude de deux cercles , un point de la droite menée par leurs centres , et tel que ses distances à ces points soient respectivement proportionnelles aux rayons des deux cercles. Ainsi , lorsque deux cercles sont extérieurs l’un à l’autre, les sommets des angles circonscrits , tant intérieurs qu’extérieurs, sont respectivement les centres de similitude interne et externe de ces cercles.
On a nommé récemment pôles conjugués d’un cercle deux points en ligne droite avec son centre , et du même côté de ce centre , tel que le rayon est moyen proportionnel à leurs distances à ce centre; d’où il suit que le sommet d’un angle circonscrit à un cercle et le milieu de sa corde de contact sont deux pôles conjugués l’un à l’autre.
Considérons maintenant les cercles r, r, r", situés sur un même plan , rapportés à des axes rectangles et donnés par les équations suivantes :
(or — ce)- -f- Cj' — /3)a = r* ou A = o,
(* — *y 4. (j —ff y __ r*a A„ __ o
Lorsqu'ils se coupent deux à deux , les équations des trois cordes communes à ces cercles sont évidemment A A' = o , A-A"=o, A' — A" = o , ou bien (O 2(*'— a
CO 2(*"— fi )y~r'—r”' Jt-c!"— ?y
JOO «©POSITIONS
Ur l’une de ces dernières étant comportée par les deux autres, il s’ensuit que les trois droites (i', 2', 3') concourent au meme point , quand même les cercles ne se couperaient pas. X
Transformation des coordonnées sur un plan.
48. Cest surtout pour pouvoir discuter plus aisément les équations des courbes en les ramenant à une forme plus simple, sans cependant leur ôter rien de leur généralité , que l’on fait usage de la transformation des axes. Si l’on veut seulement changer l’origine , en laissant les nouvelles coordonnées parallèles aux primitives , on fera , dans l’équation d’une ligne,
a et fi étant les coordonnées de la nouvelle origine , et l, u, les nouvelles variables comptées de ce point.
Si au contraire on ne veut changer que la direction des aies , on emploiera les formules
(2) x — mt-\-pu, y — nt + qu.
Les quantités m,n, p,q, ont entre elles une certaine relation (n° 123 L. G) qui fait qu’elles ne peuvent être prises toutes les quatre à volonté. Par exemple , si les coordonnées des deux systèmes sont rectangulaires , on a
m e= cos (t , x) , p = cos (u,x), n — sin (/ , *) , q = sin ( u, , x) ,
(u, x) — (*, x ) = iQ= ïoo° -,
par suite ,
m% -f n% = 1 , p1 + qx — 1 , mp nq = o , ri2 q2 — 1 , et par conséquent
«' + />*= *, rnn + pq-= o,
de là
DK UKOMUTRIE.
* — mt nu , y = ni -4- mu , ou
^ X = t cos ( t , X ) — U sin ( t , x), î y = t sin (*, jc) 4- “ cos ( t , x)Z J «t réciproquement ,
t = x cos ( 't, x) -4" y sin ( t , x) , u — y cos (/, x) — x sin (£, x) ,
d’où l’on voit qu’en faisant dans ces dernières formules , t — o , u = o , on aura les équations des nouveaux axes u et t.
Si les axes primitifs étaient droits, et que les axes du second système fussent obliques , on aurait
(/) x — 1 cos ( t , x) -|- u cos (u, x), >
^ y = t sin (/, x) + h sin («, x). )
Pour changer à la fois l’origine et la direction des axes , il faut donc employer en général les valeurs
(5) x = mt + pu + « , y = nt 4- qu -J- fi.
On passe d’un système de coordonnées obliques à un système de coordonnées rectangulaires , l’origine restant d’ailleurs la même, à l’aide des formules
t x sin (m , y) — y cos ( u , x)
sin(w,* — t,x) *
u y cos ( t, x ) — x sin (>, x )
sin (u, x — t, x) ’
ou pour simplifier la notation ,
.g-v x s‘n g — y cos p y cos p — y sin y
C * sin (ç—p) ’ sin {q — p) ~~ *
celles-ci dérivent essentiellement des équations (4) résolues par rapport a t et à u.
On fait encore un fréquent usage des coordonnées po-
laires; et l’on sait, à cet égard, qu’en nommant /• le rayon vecteur , on a
(7) x — r cos ç , y = r sin ,
<p étant l’angle que ce rayon fait avec l’axe des x. Donc réciproquemment l’on parviendra à une équation entre
x et y en substituant dans celle d’une courbe , —p=d== J \/x' + y>
pour sin q>, et
pour cos Ç'
Des différentes formes que prennent les équations des courbes du second degré , eu égard aux axes des coordonnées auxquels ces lignes peuvent être rapportées.
49- L’équation générale des courbes du second degré est représentée par
(1) Ay*-f-Bxy-f-Cx1-t-D>y4-E* = F,
l’origine des coordonnées rectangles étant située d’une manière quelconque sur le plan de la courbe. Pour reconnaître l’espèce de courbe à laquelle cette équation se rapporte , dans le cas oîi les coefficiens A , B , C, etc., acquièrent des valeurs particulières, il suffit d’avoir égard aux trois premiers ( n° 1 26. L. C. ) Par exempte , l’équation proposée , lorsqu’elle ne peut être décomposée en deux facteurs linéaires , est à l’ellipse , à la parabole ou à l’hyperbole, selon que 4AC est plus grand , égal ou plus petit que Ba.
5o. Lorsqu’on résout l’équation précédente par rapport à l’une des variables , à y par exemple, on obtient un résultat de cette forme ,
— (Bx -f- D) rb y/M y ~ aA
Si l’on ne prend de cette valeur que la quantité ration-
DE OÉOMÉTRIE. ïo3
«elle , on aura pour équation de l’un des diamètres de la courbe, '
