ky -f- B.t -4“ D = o

cette ligne partage en deux parties égales toutes les cordes menées parallèlement à l’axe y des ordonnées, et passe par conséquent par le centre de la courbe.

Par le moyen de la transformation des axes , il est possible de simplifier beaucoup cette équation générale. En effet, on la ramène à la forme

(2) A^ + BV = P,

lorsque l’origine des coordonnées est transportée au centre de la courbe, et cela en y faisant d’abord x — x'-f-ct, ymy'-f-Æ, pour faire disparaître les termes affectés de la première puissance de x et de ÿ, et ensuite en posant x —mt — nu , y' = nt -j- mu pour ôter le produit ut. Ou bien elle devient, par des substitutions inverses ,

ce qui place évidemment l’origine des axes sur un point de la courbe.

Si l’on avait

(4) AV -f" B 'ut 4- C 'u* = o ,

cette équation représenterait le système des deux droites passant par l’origine des coordonnées ; car en la résolvant par rapport à la variable t, on aurait

L’équation (2), qui appartient seulement à l’ellipse ou à l’hyperbole, selon que A' et sont ou ne sont pas affectés du même signe , devient , en la mettant sous uue /orme homogène ,

y* = -Aa'—**)>

ou ^*= — (xa — à1),

u Lieu

ay* -f brjx% = a'b%, b*x% — ay a = aaèa

a et b désignant les demi - axes de ces courbes. Lorsque ces demi-axes sont égaux, l’ellipse devient un cercle, et la seconde courbe est une hyperbole èquilatère.

Dans la même hypothèse , l’équation (3) qui comprend les trois courbes du second degré , se change , pour l’ellipse , en

y* =* — (2 ax — ara) — — (2 ax — x1) , a 2 a

lorsque p désigne le paramètre, ou la double ordonnée qui passe par l’un des foyers ; et pour l’hyperbole , en

y* = (x’1 — 2 ax) = — (ara — 2 ax).

Telles sont les équations de ces courbes rapportées à leurs sommets.

Nous accentuerons les lettres a et b , quand il s’agira des équations relatives aux diamètres conjugués.

L’équation de cette dernière courbe prend une forme très simple , quand les asymptotes sont prises pour les axes mêmes des coordonnées. En effet , on a dans cé cas

et l’on voit par là que pour que y' fût nulle , il faudrait que x' fût infinie. Ainsi les branches de l’hyperbole s’approchent sans cesse des asymptotes; mais elles ne les atteignent jamais.

Enfin , l’équation de la parabole , qui répond au cas où C = o dans l’équation (3) , est

y'=px,

p étant le paramètre.

DE GÉOMÉTRIE. > o5

On aurait encore une parabole dans l’équation

car en chassant la puissance ^ pour n’avoir que des puissances entières , on parviendrait , par deux opérations successives, à une équation complète du second degré entre les variables x,y, et qui satisferait à la condition 4AC=Ba, énoncée ci-dessus ; mais alors la parabole serait rapportée à deux de ses tangentes , ainsi qu’il est aisé de s’en assurer.

5i. Les applications de l’analyse à la Mécanique et à l’Astronomie exigent souvent que l’on rapporte les courbes du second ordre à leurs coordonnées polaires. Par exemple , si dans l’équation de l’ellipse

( iay a -f- b^x1 = aa6a ,

(i — ea)*a = <*% O “ «*)>

e — - — étant le rapport de l’excentricité au demi-

grand axe , on fait

x z= ae -f- r cos ç> , y = r sin <p ,

pour transporter l’origine des coordonnées au foyer de cette courbe , situé du côté des x positives , il viendra

ra sins<p -j- (i — ea) (ae -f- r cos f)‘ = aa (i — ea) ;

puis développant et faisant attention que sinap-f-cosa^=i> on aura, après les réductions,

ra -f- 2(1 ea) aer cos p — eara cosa^ = aa (1 — e*)“ » ou bien

r1 = [a(i — ea) — er cos $>]*•

Enfin , extrayant la racine carrée , et tirant la valeur de r ,

X<>6 PROPOSITIONS

on obtiendra l’équation polaire de l’ellipse , savoir :

r <l — «*) i -f- e cos <p ’

qu’on peut encore mettre sous cette forme

i -f- e cos <p

en désignant par A la distance a -f- ae du foyer au sommet de la courbe le plus éloigné de ce point.

L’équation polaire de la parabole se déduit, par une méthode semblable , de y4 = px , en faisant daus celle-ci

x = ip -f- r cos p, ^ = rsinf.

En effet , on a d’abord

r’ = (j/) + r cos <p)’i

enfin

i — cos <p sin4 ï ç

Mais on obtient tout d’abord ce résultat, en faisant a infini dans la seconde valeur de r relative à l’ellipse; car alors la

fraction - = o , et l’on a seulement a

i — cos (p x — cos <p *

à cause de h=±p.

L’équation polaire de l’hyperbole est de même une conséquence de celle de l’ellipse. En effet , en supposant dans celle-ci a négatif, et e plus grand que l’unité, c’est-

à dire e — ^ ^ t l’équation polaire de l’hyper-

!>ole est