f- e cos <p

résultat auquel conduirait d’ailleurs le calcul direct employé ci-dessus pour les deux autres courbes.

Méthode générale pour mener des tangentes aux courbes.

52. Parmi les diverses méthodes analytiques que l’on peut choisir pour résoudre le problème des tangentes , la suivante , qui a beaucoup d’analogie avec celle que M. Lacroix a exposée , est assez remarquable par sa simplicité.

QFig. 29.3 Soient et , /3 les coordonnées positives du point M ; l’équation de la droite cherchée sera

(1) y — $ — \(x — et).

Pour rapporter les points de la courbe NN' à des coordonnées polaires, et placer en même temps en N l’origine de ces coordonnées , on fera (n° 48) ,

x = x' -b r cos <p , y -z=ÿ r sin <f> , ou pour abréger ,

x = x'+rp , y=ÿ + rq ,

x' et y désignant les coordonnées du point N commun à la courbe et à la sécante NN'.

Ces valeurs étant substituées dans l’équation

(2) y* = mx -J- nx * des courbes du second ordre , on aura

(y “H rqY = m (x -f rp) + n (x'-f- rp )9.

Si l’on développait cette équation , et qu’on ordonnât par rapport a r) il est évident que l’on obtiendrait un résultat de la forme suivante,

M r* -f- Br -f- C — o ,

utS

lequel se réduirait à

Mr 4- B =o,

puisque C , qui est indépendant de r , a pour valeur y* — rnx' — nx'*, comme il résulte du développement effectif de l’équation ci-dessus , et que cette valeur est nulle en vertu de la relation (2). Ainsi, en supposant que la partie NTÏ' = r de la droite MN' s’anéantisse , cette droite sera tangente à la courbe , et résoudra la question -, donc alors B = o.

Telle est l’équation qui exprime la condition du contact. On peut donc, dans le développement dont il s’agit , n’avoir égard qu’aux termes multipliés par la première puissance de r; ainsi l’on a

B= 2 yq — mp — 2 npx' = o ,

d’où

q m 4- nnx’

par conséquent l’équation (1) de la tangente devient

o.nx' -f - m . /fTn

Si le point M était donné sur la courbe fnême , on aurait et = x' et fi =r y j et pour lors l’équation précédente deviendrait , en ajoutant mx — mx dans le second membre ,

%yy' = x (2 nx 4- m) + mx (T)

Les mêmes considérations appliquées à l’équation des lignes du second ordre , dépourvue du rectangle des coordonnées , savoir :

Ay* 4" Cjc1 4” J)y 4* Ex — q ,

conduiraient à cette équation symétrique de la tangente menée par un point ( x \ y') de la courbe ,

(aCx' -}- E).v 4- (aA y'+ D\y 4- Ex' 4- D/ — 0.

DE CiioMÉTRIE. ÏOf).

Si cette droite passait par un point extérieur (<* , /8) , sot» équation prendrait la forme

(2Cx,-|- E)st (2Ar,-j D) /3 -f- E.v'+ D y' = o , ou

(2C et -f- E) x' (2 4“ D) y -f- Eat -{“ D/3 O j

mais au point de contact, on a évidemment Ay'a -f- Gr'a 4" D y + Ex' = o il ne reste donc qu’à combiner entre elles ces deux dernières équations pour avoir les coordonnées x', y' de ce point.

Enfin, il n’est pas difficile de voir que si l’on prenait l’équation complète des courbes du second degré,

A ya + B xy 4- Cxa -f- D y 4- Ea- = F ; celle de la tangente menée par le point x* , y, z , pris sur cette courbe , serait

(2 A/ -f- Bx' -f- D) y 4- (2Cx -f B y 4-E) v 4- D y 4- Ex' = 2F y

d’où il résulte cette règle de Mnémonique , très commode pour retrouver de suite cette équation de la tangente :

Écrivez deux fois de suite l’équation de la courbe l’une au-dessus de l’autre. Dans la première ligne, changez .r* en x'x , y a en y y, et le rectangle xy en x'y.

Dans la seconde ligne , changez :ra en xx'} y a en yy , et le rectangle xy en xy \ de plus, mettez x', y', au lieu de x y y dans les termes linéaires restans; alors la somme de ces deux équations ainsi modifiées sera l’équation de la tangente.

53. Soit la parabole [ Frg. 3o ] dont l’équation est ... ya x=px y on a dans ce cas , m=p et » = o; ainsi l’équation de la tangente à cette courbe devient , en vertu de la dernière formule (T') ci-dessus ,

*yy — p O' 4- *)*