Pour appliquer cette dernière formule à des cas
particuliers , soit d’abord /* = — (a2 — *'“) j alors on a 6a
rri — - - , n = 6a et la substitution de ces valeurs
donne
( 1 ) ri y y -f- b' xx = riri.
Dans cette équation les coordonnées courantes de la
tangente sont x , y ; ainsi en supposant que cette droite dût passer par un point M donné hors de la courbe , on changerait x en et et y eu fi , et l’on aurait pour équation de la tangente MT',
(2) aa/8y' “h b*etx' — a*b%.
Mais comme par le point M on peut mener à l’ellipse deux tangentes MT', MT", l’équation de la tangente MT" serait, en désignant. par x", y" les coordonnées du point de contact T" supposé au-dessous de l’axe des x ,
(2') b^ax" — a*fiy" = aaûa ,
puisque l'ordonnée y" située au-dessous de cet axe doit être prise négativement
Cela posé , la corde T'T" menée par les points de contact des deux tangentes dont il s’agit , en tant qu’elle est assujettie à passer par le point T' ou par les deux points T, T", a généralement pour équation
(3) Y — y = A (X — x) ou y'+y" = A
A étant un coefficient qu’il s’agit de déterminer. Or on tire des équations ( 2 , 2' )
et
x — x" aa/3
Mettant cette valeur dans l’équation (3), il vient aa/3Y -}- r= a*@y' -f- b*ax',
ou bien , à cause de la relation (2) ,
(4) a^Y + b*uX = aVA
Il suit de là que l’équation de la tangente MT' et celle de la corde T T" n’en forment , à proprement parler , qu’une seule. 11 y a cependant cette différence remarquable, que dans (2) les coordonnées x ', y sont celles du point
de contact, tandis que dans (4), X, Y, désignent les coordonnées courantes.
Lorsqu’il s’agit du cercle dont l’équation est x'i+y*=r9, on a
b — a = r , ou ni = — i ; ainsi l’équation de la tangente devient
(5) xx'+y/ = r* ou x + -7.
Il suit de là que si les coordonnées du centre d’un autre cercle du rayon r étaient désignées par « , £ , et que par conséquent l’cquation de ce cercle fût
celle de sa tangente serait
(* a) {x" - ci) + (y - £) (y* - £) = f, ou
Pour que ces deux courbes aient la même tangente , il faut que les équations (5,6) soient identiques , c’est-àdire que
x Xn—a. r* __ tf (*" — a) 4- £ (y;— -l) + .
d’où l’on tire aisément „ r'V
’ ra— a*'— £j'J
r* — a* — /By
Mais à cause de l’équation du second cercle et de celle du premier cercle , on a , après avoir substitué ces valeurs et
réduit ,
rV = (ra— ax — £/)a ;
puis après avoir extrait la racine carrée des deux membres, il vient
ax -f £y = r (r — r) ,
DX OÉOm£tR12.
iiS
valeur qui change l’équation (5) en celle-ci :
Telle est , en général , l’équation d’une tangente commune à deux cercles , et dont un des points de contact sur le cercle r a pour ordonnée y . On caractérisera les tangentes que l’on considère , en attribuant un signe convenable à chacun des rayons r, r , qui ont été supposés tous deux positifs.
Lorsqu on fait passer l’axe des x par le centre du second cercle , on a fi = o , et l’équation de la tangente prend cette forme ;
ar — (r — r)x
à cause de y — zt \/ r1 — x% et de l’équation ( 7 ) qui donne, dans la même circonstance ,
*'= r^TSl.
Il est a remarquer que cette équation '(7) est celle de la corde de contact des deux tangentes qu’il est possible de mener symétriquement aux deux cercles r, r \ mais alors X ’ y °Jvent être considérées comme les coordonnées coura^GS un P0,nt quelconque de cette corde du cercle r.
• ,1" • GS^ ^rCS *mPortant de remarquer que l’on parviendrait encore à des résultats tout-à-fait semblables à ceux es n * précédens , relatifs aux tangentes , quand même axe des ordonnées , mené toujours tangentiellement à la courbe proposée ou parallèlement à l’un de ses diamètres conjugués , ne ferait pas un angle droit avec l’axe des abscisses ou l’autre diamètre. La raison est que les propriétés des courbes du second ordre sont les mêmes par
I | ^ FROPOülTIOKS
rapport à leurs diamètres que par rapport à leurs axes ; mais dans ce cas le coefficient de x, dans l’équation générale de la tangente , ne doit plus être considéré comme une tangente trigonométrique (n° 40 *> c’est au contraire une droite menée parallèlement à l’axe des ordonnées par l’extrémité d’une abscisse constante prise pour unité , et terminée à la tangente à la courbe.
Voilà les préliminaires avec lesquels il est important de se familiariser, pour pouvoir comprendre les solutions ou les démonstrations des propositions qui vont suivre. Je ne m’arrêterai point à rappeler le grand nombre des propriétés fondamentales dont jouissent les lignes du second ordre, parce que le Traité d’application de l’ Algèbre à la Géométrie, par M. Lacroix; V Essai de Géométrie analytique, de M. Biot; la Théorie des courbes, par M. Boucbarlat ; enfin les Annales de Mathématiques pures et appliquées, rédigées par M. Gergonne, ne laissent rien à désirer sur ce sujet.
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