CHAPITRE III

Des Problèmes déterminés et de quelques Théorèmes de Géométrie.

57; Lorsque toutes les conditions d’un problème sont exprimées par des équations , les inconnues se trouvent nécessairement liées entre elles par les relations qu’elles ont avec les quantités données. Alors s’il existe autant d’équations distinctes qu’il y a de quantités à découvrir, le problème n’est susceptible que d’un nombre limité de solutions, et en pareil cas il est dit déterminé . Telles sont les questions suivantes :

PROBLÈME

Déterminer Vaire d’un triangle et d’un polygone rectilignes quelconques , en fonction des coordonnées des sommets de leurs angles.

JJ* ,e AMM' [%• son sommet à IV

b es coordonnées rectangles, et désignons par xv xW les coordonnées des points M, M'. L’aire T de « «angle . évidemment pou - expression 8

Mais T ~ “lre AMP + aire pMM'P' — aire AM'F.

aire AMP = S , aire PMM'F= ϱZ (y x) ,

aire AP'M'= xléL 2 ’

donc

T = i (x'y — Xy').

i°. Représentons par M,MaM3M4M5 les sommets des angles d’un pentagone quelconque , et par xyx , , xiy$ ,

xtf 4 f x$ys , les coordonnées rectangles de ces points , tous situés dans l’angle des coordonnées positives; l’aire cherchée 2 sera évidemment égale à celle des deux trapèzes M,Ps , M5P4, moins la somme des trois trapèzes M,Pa , , M5P4 , ou en style algébrique ,

2 = z Cyi + yù (*5 — *.) + j (y s + yù O4 ~ *5)

— i C y* +yù (*» — *0 — i ( y * +^3) (*3— *»)

— i (.y 3 H- yù (*4 — *3) ;

Mais en réduisant l’on a plus simplement

2 = ï U. y» —ysjxi + (y s — yù*» + (y 4 - y*)*3

+ (y* —yùx*+ (y> — yùx*}-

Généralement, si n est le nombre des angles du polygone rectiligne , et que x^n soient les coordonnées du point M„ , l’aire 1n de ce polygone sera donnée par la formule symétrique

2» = '* [(y*—yù* « + (y 3 — -f (.y* — ,y,)*3 + . . .

+ ( yt —y h- .)*«] ,

dont la loi des termes est manifeste.

Problème.

58. Trouver la relation qui existe entre la droite menée du sommet d’un triangle rectiligne sur le milieu de sa base et les trois côtés de ce triangle.

[[Fig. 3 1.3 Soient

AB r= c, AM = c', BM == c,

AP = x, PM = y, ME = z.

Les triangles rectangles APM, BPM , fourniront respectivement les équations

par le moyen desquelles on obtient

et par suite

;»c'“+ 2 c*cWi -f“ 2c,V'î — c* — c'* — c*+

BP =

Ca -f- c"* — C *

Lorsque c" > c', AP est le plus petit segment , et l’on a

c,,ft c'a