PE = AE — AP
or, à cause de EM = PM -f- PE , on a , en employant le» expressions algébriques ,
a ac3c,“-f-2cac"*4-2c':'cw# — C* - c'4 — c*4 -\~c * — 2C,aC,,a-f- c"*
Chassant le dénominateur et réduisant , il vient, pour la relation cherchée,
4za = 2C,# 4- 2 C* - C%
ou bien
2Ea4-2«# = a‘-f
on changeant c en la , c en a , et c" en a”.
Cette proposition, qui est la quatorzième du troisième livre delà Géométrie de M. Legendre, pourrait être sans doute résolue plus brièvement , en partant , comme l’a fait ce savant géomètre , de la propriété du triangle obliquangle ; mais nous avons préféré , dans cette circonstance , remonter à la propriété fondamentale du triangle rectangle , afin dç faire directement usage des coordonnées rectangulaires.
L’analyse précédente mène à diverses conséquences remarquables. Par exemple, en écrivant l’équation (O ainsi qu’il suit,
H 8 PROPOSITIONS
et décomposant ses deux membres en facteurs , il vient c(c — ax) = (c" -+- c) (c — c) ; d’où résulte cette proportion
c î c" -f- c î I c" — c l c — 2# , c’est-à-dire que la base est à la somme des deux autres côtés j comme la différence de ces mêmes oôlés est à la différence des segmens formés par la perpendiculaire.
Maintenant, si l’on multiplie par 'xc% les deux membres de l’équation (2} , on aura, en faisant attention que \y*c* est le carré de l’aire T du triangle ABC ,
4T = \/ 2 cV a-f- 2 cac"*+ 2 c sc"a — cv — c'4 — c"4. D’un autre côté , à cause de
a o ,a fc'+c''-c"'\
on trouvera , en décomposant en facteurs le second membre qui est formé de la différence de deux carrés,
.rk+Æ-zi-] p
’-Cc-c'r
Effectuant la même décomposition dans le second membre de cette valeur, et désignant par p le demi-périmètre du triangle , on aura
, p(p — c’Mp — c") C P — c)
Partant, l’aire d’un triangle rectiligne dont on connaît le9 trois côtés , a pour expression
T =\/p{p—c)(p — c') ( p — c ) , résultat déjà énoncé au n° 3, et auquel on parvient très ai-» sèment par les formules de la Trigonométrie rectiligne. ( Géodésie , tom. I , p. S'].)
PROBLÈME
5g. Étant données Us trois lignes qui partent des angles d’un triangU rectiligne , et qui se terminent au milieu des côtés opposés, trouver V expression analytique de ces côtés.
[Fig. 32-3 Soient
AB = 2c, AC 2 c, BC = 2 c",
CD — d, BF = et, AE = et.
On aura par le problème précédent les trois équations 4 C‘ 1 4" 4c,a = 2 <f* -j- 2C * ,
4 C'“ 4- 4c"3 = 2ûP 4- 2C3 ,
ou bien
2Ca 4- 2c'* = + C"a, -j
2Ca 4- 2C#,a = ^a 4- C'\ | (A)
Soustrayant la seconde de la première , puis la troisième de la première, puis la troisième de la seconde, et réduisant , on obtiendra ces trois autres équations
3 c'a — 3c#a = <Ta — ct\ )
3c* - 3c//a== <fa — d\ > (B)
3ca — 3c'a — et* — d\ )
Comme l’une de celles - ci est une fonction des deux autres, il n’existe réellement que deux équations entre les inconnues c , c' , c" -, mais il n’en est pas de même lorsque l’on joint à ces dernières l’une des équations (A) • En prenant , par exemple , la troisième divisée par deux , on a
Et en divisant par 3 la première des équations (B), il vient
celle-ci étant combinée avec l’équation précédente , on a /a 3ca-f- Zd* — 2cf3 H- 2 et'*
Maintenant si l’on substitue ces valeurs dans la troisième équation (B) , *n obtiendra , après les réductions nécessaires ,
g c* = '2x1'* -f 2ûTs — d 1 j et l’on voit d’abord que l’on a pareillement
gc a = 2cP + 2üf a — d gc"a = 2ü?a -f- 2</a — </'a.
Telles sont les équations desquelles on peut tirer les valeurs des côtés du triangle, soit par le calcul , soit par une construction géométrique ( n° 68. L. C.).
THÉORÈME
6o. Si des sommets des angles d’un triangle rectiligne quelconque, on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires se couperont toutes trois en un seul et même point.
[F ig. 33.3 Soient
AP = a , PM = /3, AP' = «';
on aura
PP' — a! — a.
Première démonstration. i°. L’équation de la droite AM , passant par l’origine des coordonnées rectangles , étant
y=^x , celle de la droite P'M" qui lui est perpendi-
,cula ire , et qui est assujettie à passer par P' , sera ( n°* 3g et 42)
a0. La droite FM faisant avec l’axe des abscisses un
yS
angle dont la tangente trigonométrique est — —, -
la ligne AM', qui est perpendiculaire à cette même droite , aura pour équation
Cela posé, si l’on attribue aux variables x , y , la même valeur dans les équations (1) et (2), elles représenteront les coordonnées du point m d’intersection des droites AM', P'M" •, ainsi , par le procédé ordinaire d’élimination , l’on trouvera que x = a. L’abscisse du point m étant égale à celle du point M , il s’ensuit que les trois perpendiculaires PM, AM', P'M", se coupent au seul et même point m: il en serait de même si ces perpendiculaires se coupaient au-dehors du triangle proposé.
Voici une démonstration géométrique de ce théorème :
Seconde démonstration. En supposant, comme ci-dessus, que les droites BP, CQ [fig. 343 soient respectivement perpendiculaires aux côtés AC, AB , il s’agit de démontrer que AM est en même temps perpendiculaire à BC. Or les triangles rectangles APB AQC ayant l’angle commun BAC, sont nécessairement semblables : par conséquent AK = AL ,
