TT . 57T

et = x — a cos — , p = a sin - — ,

et par conséquent

PO)9 = xa — 2 ax cos

P(*)a = *9 — 2 ax cos

mais les droites po) P(*>. . . placées d’un côté du diamètre, sont égales a celles r^,) «■(,)••• qui leur correspondent de l’autre côté , donc

** — = PCo) X po X P(4)...f(o X

*" + «" = P (m)X p(I) X P(3)...^0) X C’est oe qu’il fallait démontrer.

-f- a -f- aa

Si l’on prenait l’origine des p dans l’intérieur du cercle , les deux produits précédens seraient respectivement égaifv à am — xm et à Moivre généralisa ce théorème

en donnant le moyen de décomposer en facteurs quadratiques réels l’équation x™ -f- zpxm + = °- Consultez à ce sujet le Calcul des fonctions, par Lagrange, page 1 1 1 , et la seconde édition de la Théorie des nombres de M. Legendre, oii l’on trouve, d’aprcs M. Gauss, la belle théorie de la résolution de l’équation xn — i = o.

Il résulte de la forme de cette dernière équation , que la somme de scs racines est nulle , ce qui ne peut avoir lieu qu’en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme. Or, à cause de

2n7T . 2 mr . / -

JC = cos » 4* sm v — I ,

chacune des racines s’obtient en faisant successivement dans cette expression générale, n— o , = i , = 2, . . . = m — t ; on a donc

cos o 4- cos - h cos - h- • • “T cos - - — “ — ° >

2w . , • (mr— i)w

sin o -f" - sm - - l»...+sin - — - — o;

de plus, si l’on multipliait chaque racine par . *

cos a -f- sin a Ÿ — i , leur somme, qui serait encore nulle, fournirait également ces deux relations ,

cosa+cos(a + ^) + cos(« + ^) 1

+ ... + COS (a +

si,, a + sin (“ + ^) + sin (n + ~ ) )

+ •• + Sin (“ + (^“)j

de là ce théorème remarquable : Si une circonférence est divisée en m parties égales, et qu'on prenne l'origine des arcs en un point quelconque, la somme des cosinus des m ares terminés à ces points de division, sera nulle , ainsi que la somme de leurs sinus.