CHAPITRE IV
Des Problèmes indéterminés, ou des lieux plans.
87. L’analyse des propositions qui sont l’objet du chapitre précédent, conduit toujours à autant d’équations distinctes qu’il y a de quantités à découvrir ; mais lorsqu’il arrive le contraire, comme dans les questions qui vont suivre, l’équation finale, résultante de l’élimination possible des inconnues , en renferme nécessairement plusieurs; et comme on ne peut déterminer l’une de celles qui restent , sans attribuer préalablement des valeurs quelconques aux autres , le problème qui donne lieu à cette circonstance est dit indéterminé. Lorsque la solution d’un tel problème mène à une équation qui ne renferme que deux inconnues ou variables , la courbe à laquelle cette équation appartient, et qu’on nomme lieu géométrique , est toujours plane ou à simple courbure.
PROBLÈME
Une droite et un point hors d’elle étant donnés à l’égard de deux axes rectanglesj trouver l’équation de la droite assujettie à passer par ce point , et à faire avec la ligne donnée un angle connu. £ Fig. 5q.]
Soient « et/3 les coordonnéesdu point M donné ,y=zax 4+*
DE GÉOMÉTRIE. l8l$
l’équation de la droite CB connue , et t la tangente de l’angle donné.
L’équation de la droite cherchée MQ est y — fi=a'(x — *)•
de plus, l’angle MQB devant être égal à l’angle donné, dont la tangente est t , on aura, conformément au n° 45 ,
aa' i
Tirant la valeur de l’inconnue , on obtiendra , pour la tangente de la- somme des deux angles connus,
et alors l’équation de la droite MQ sera
Ainsi, en menant d’abord par l’origine A, la droite Am qui fasse avec l’axe des x un angle dont la tangente soit a', et ensuite par le point M la droite MR parallèle à Am , le problème sera résolu graphiquement.
Si l’on voulait connaître un point de la droite MR autre que M,le point R, par exemple, on ferait dans l’équation précédente, y = o, et il en résulterait pour l’abscisse AR,
Lorsque la droite cherchée doit passer entre P et X, il faut, pour se conformer à l’observation du n° 45, employer l’équation
x — aa
PROPOSITION S
PROBLÈME
88. Un angle étant donné, trouver un point duquel abais gant des perpendiculaires sur les côtés de cet angle, elles soient entre elles dans le rapport de va l n.
Fig. 60.3 Soient x',y' les coordonnées du point M' cherché , et a la tangente de l’angle MAB.
L’équation de la droite AM est y = ax ,
et la perpendiculaire MM' abaissée du point M' sur AM , a pour expression ,
y ~ ax'
ainsi, d’après la condition exigée, l’on doit avoir la proportion
* —y . / VT+~a> * y
min,
ce qui donne
n (ax — y' ) = my \/ 1 + a% ;
d’où l’on tire ,
, nax
Si le point M' était situé au-dessus de la droite AM , la perpendiculaire MM' serait positive (n°43), et l’on aurait pour lors
Il y a donc une infinité de points qui satisfont à la question ; et, de plus, ces points sont situés sur une droite qui passe par l’origine des coordonnées , en faisant avec l’axe des abscisses un angle dont la tangente trigonométrique est
na
Cette quantité se construit facilement , ainsi qu’il suit , en n’ayant égard, pour abréger, qu’au signe inférieur du radical.
Du sommet A de l’angle donné [Tig. 61^, élevez sur AB la perpendiculaire AD égale à n • et du même point A élevez sur AC la perpendiculaire AD' égale à ni : ensuite, par les points D , D', menez les droites DM', D'M' respectivement parallèles aux droites AB, AC ,et joignez le point M' d’intersection des premières droites avec le point A ; la droite indéfinie AM' sera celle qu’il s’agissait de trouver.
Pour se convaincre de l’exactitude de cette construction, on remarquera que l’angle D'AE = l’angle CAB, parce que l’un et l’autre ont pour complément l’angle EAC; d’où il
résulte que D'E = am, et que l’hypoténuse .
AE = V = rn {/a* -J- 1 = QM'. De plus , il est évident qu’à cause de P'Q = P'M' — QM', on a
P'Q = n — m \/ 1 -4- na.
Cela posé , l’équation de la droite D'M' parallèle à AC est y = ax 4- m \/ 1 + a*,
et celle de la droite DM' parallèle à l’axe AB, est y — ainsi, de ces deux dernières équations, l’on tirera pour l’abscisse AP' du point M' d’intersection ,
n — m y/ 1 -f- aa
et parce que la tangente de l’angle M' AB = on nura>
en employant les expressions analytiques ,
P'M' na
d’oii il suit que l’équation de la droite AM' est
nax
De la solution précédente l’on déduit, comme conséquence immédiate, la manière de trouver un point duquel abaissant des perpendiculaires sur trois lignes données de position les unes à V égard des autresj ces perpendiculaires soient dans les rapports connus de min l p. Voici comment on peut effectuer la construction qui convient à ce problème.
Soient AB , AC , CD [Gg. 62] les droites données ; on déterminera par le procédé que l’on vient de suivre , la direction de la droite AM, de manière que les perpendiculaires MN , MP soient dans le rapport de m l n. On fixera pareillement la direction de la droite MC, de manière que les perpendiculaires MP, MQ soient dans le rapport de ni p, et le point M d’intersection des droites AM, CM sera le point qui remplira seule la condition exigée.
PROBLÈME
8g. Tant de points que Von voudra étant donnés sur un plan par leurs coordonnées rectangles j mener une ligne droite à travers , telle que abaissant de ces points sur cette droite une perpendiculaire , la somme des perpendiculaires (V un côté soit égale à celles de Vautre côté.
[Fig. 63. ] Supposons, pour plus de simplicité, que les points donnés ne soient qu’au nombre de trois; les considérations qui se rapportent à ce cas pourront s’étendre ai sèment à un plus grand nombre de points.
Soient
« , * ) JM
el , ÇS > les coordonnées respectives des points <M'
DE r.ioMÉTRIE. 193
Ce problème étant visiblement indéterminé, supposons que la droite CD soit une de celles qui satisfont à la question, et qu’elle ait pour équation
y =*ax -f b.
Lies 1 ignés /?M , M > /) M devant être perpendiculaires à cette droite, leurs longueurs seront respectivement $ — a a — b & — ci* — b /3" — a*" — b
en prenant négativement les expressions des perpendiculaires situées au dessous de la droite CD.
Ainsi, conformément à l’énoncé du problème, on aura /S — act — b -f- /S' — a a' — — b = b -f- a»" — j ce qui donne
J, Æ 4- ( et -f. «' -f- «")
Comme cette quantité renferme deux inconnues a et b, on ne peut obtenir l’une d’elles sans faire une supposition sur l’autre. Soit donc b = o , on aura , pour la solution qui répond à ce cas,
fi+f + fi"
Mais en substituant la valeur précédente de b dans l’équation de la droite demandée, on aura
d’où il suit que toute droite qui passe par le point dont les coordonnées sont * + * ; c'est-à -dire
par le centre des moyennes distances des points donnés aux deux axes, satisfait à l’énoncé de la proposition.
Si l’un des points M était situé au-dessous de l’axe des
abscisses, il faudrait indiquer cette circonstance en prenant négativement l’ordonnée de ce point dans l’expression de la perpendiculaire correspondante.
On verra la généralisation de ce problème dans la troisième section de ce Recueil. Nous observerons , pour le moment, que si la somme des perpendiculaires dont il s’agit devait être égale à une ligne donnée m, l’analyse précédente conduirait à cette propriété , savoir : que toutes les droites qui satisferaient à cette proposition seraient tangentes au cercle ayant pour centre celui des moyennes distances des points donnés, et pour rayon la droite m divisée par le nombre de ces points donnés.
problème.
90. Étant donnés tant de points que l'on voudra, en trouver un autre tel , que, menant de ce point une droite à chacun des autres, la somme des carrés de ces lignes soit égale à un carré donné qa.
£ Fig. 64.] Supposons , pour simplifier les calculs, qu’il n’y ait que trois points donnés : cette restriction ne diminuera en rien la généralité de la solution du problème actuel ; et désignons par
les coordonnées des points
Soient de plus x, y les coordonnées du point IM cherché. On aura dans l’hypothèse de la figure
am 3=(*—« y + (y-n )», a'm =-(*—« )* + Cr— £')%
A"M =(* — »")* + (? — fi")*-
Or, si l’on développe ces équations, et que l’on égale leur somme à on aura, après avoir divisé tout par 3 ,
y 1 — 1 ( et tt a ) X -f- X* — f (Æ 4- fi' + &' )y
Cette équation est très remarquable, car elle indique que tous les points qui satisfont au problème sont situés sur une circonférence de cercle, et de plus que le centre de ce cercle est précisément le centre des forces parallèles supposées toutes égales entre elles, et appliquées aux points donnés A, A', A", etc. (Mécanique de M. Francœur , n° 36, 4' édit.)
En effet , pour transporter l’origine des coordonnées au centre de la courbe, on mettra dans l’équation précédente
x + * au lieu de x, et ÿ + £-4l4.-^ /3- au
lieu de y\ alors la résultante ne renfermera plus que les secondes puissances des variables , et la quantité toute connue sera l’expression du carré du rayon du cercle à con¬
struire. Ayant donc pris une abscisse égale à •
une ordonnée correspondante égale à
l’extré¬
mité de cette ordonnée sera à la fois le centre du cercle en question , et le centre de gravité des points A, A', A".
Cette proposition , qui est une de celles des Loca plana d Apollonius , peut se varier d’une infinité de manières; et dans toutes ses modifications elle offre des conséquences analogues à celles dont il vient d’être parlé. ( Voy., sur ce sujet , 1 Histoire des Mathématiques t par Montucla , tom. i > pag. 284? 2e édit.) Nous envisagerons cette même proposition d’une manière plus générale dans la troisième section.
PROBLÈME
91. Un point étant donné à V égard de deux axes perpert diculaires entre eux , déterminer le lieu des centres de tous les cercles qui sont assujettis à passer parce point , et à être tangens à V un des axes.
[Fig. 65.] Soient a, fi les coordonnées du point M donné; x' , y celles du centre M' du cercle cherché; r le rayon inconnu.
Le centre M' de l’un des cercles qui doivent passer par le point M , et être tangens à l’axe AY étant quelque part dans l’angle YAX, l’équation de la circonférence sera
(x— x'y+ty — yy=r *, et pour le poiut M de cette circonférence , on aura («x')» + (*y).== r%
mais la condition du contact du cercle avec l’axe AY s’exprimant par r—x , on a
(*-*)*+(*-/)* = *'*; développant et ordonnant , il vient
y,% — 2 fiy — 2 »X -+• *a -h /3a = o ;
ainsi la courhe parabolique est le lieu des centres des cercles qui jouissent de la propriété énoncée ci-dessus.
Lorsque fi = o, ou, ce qui est de même, lorsque l’axe des abscisses passe par le point donné, l’on a simplement
Pour trouver le sommet de la parabole , on fera dans cette dernière équation , y = o , et l’on aura
Le plus petit cercle, qui satisfait à l’énoncé du pro-
DE géométrie. *97
blême, a donc pour rayon la moitié de l’abscisse du point donné.
Si le cercle à décrire devait passer par le point M et toucher en même temps les deux axes AX, AY, le problème serait évidemment déterminé.
l'ROBLÉME.
92. Une droite étant donnée de position à V égard d'un ceixUj trouver la trace des centres de tous les cercles qui sont tangens à la fois au cercle et à la droite donnés.
[Fig. 66.] Soit AX la ligne donnée; du centre C du cercle connu , abaissez sur cette ligne une perpendiculaire AC qui pourra être prise pour l’axe des ordonnées , et soient
AC = b y AP' = x, P'C' —y ;
r le rayoh CR du cercle donné.
La distance CC' sera exprimée en fonction des coordonnées de ses extrémités, par
Effectuant les développemens indiqués, on aura, toute réduction faite,
Lorsque x — o , on a
d’où il suit que, pour le cas de la figure, le centre du plus petit cercle touchant est situé au milieu de la distance qui se trouve entre la droite et le cercle donnés. 11 peut arriver que ce dernier cercle soit touché ou coupé par la droite AX ; ce qui fait différens cas qui ne sont pas difficiles à discuter}
PKOPOSITIONS
PHOBLÈME.
93. Par deux points donnés,, mener deux lignes perpendiculaires entre elles.
C Fig. 6*7.3 Soient
a y fi, 1 f M
et', & / Ies cordonnées des points | /
L équation de la droite MN assujettie à passer par un point donné, et à faire un angle quelconque avec Taxe des abscisses, est
l’équation de la droite M'N' qui doit lui être perpendiculaire, est
Or, pour que le point M' soit commun aux deux droites proposées, il faut que * et ÿ aient les mêmes valeurs dans les équations de ces droites. Cette supposition étant faite on éliminera la tangente A , et l’on aura
{y — fi) 0 Y — P)= (*' — *) (* — *);
ou en développant, et faisant passer tous les termes dans le premier membre,
ya + x* — (P + fi) y — («' + *) x -f- état! -f = 0. Cette équation étant celle du cercle entre ses CQordonnées rectangles, il s’ensuit qu’il y a une infinité de points desquels menant des droites aux points donnés M, M', ces droites forment entre elles un quadrant.
Lorsque * =£ = £'= 0> c’est-à-dire, quand l’axe des abscisses passe par les deux points donnés, et que l’origine est au point M , l’équation finale devient
DE géométrie. *99
mais voici un autre problème dont celui-ci n’est qu’un cas particulier.
problème.
94. Mener par deux points lionnes deux droites qui fassent entre elles un angle connu.
[[Fig. 33.3 Soit t la tangente de l’angle donné, et supposons , ce qui est toujours possible , que les points donnés A , P soient sur l’axe des abscisses. Soit en outre AF = <*•
La droite AM qui passe par l’origine, a pour équation
y = ax\
et la droite P'M qui passe par un point pris sur l’axe , est y = — a' (x — *).
D’un autre côté, la tangente de l’angle AMF étant représentée par t, la tangente du supplément ou celle de l’angle N MF le sera par — ainsi l’on aura, suivant le n° 45,
d’où l’on tire
Si l’on substitue cette valeur dans l’équation de la droite AM , il viendra
et si on élimine a' par le moyen de celle-ci ,etde l’équation de la droite P'M, on parviendra à une relation entre les seules inconnues x,y : cette relation est
— atx — ~ — o , (A)
200 PHOPOSITIONS
et indique que tous les angles égaux AMP' ont leur sommet sur une circonférence de cercle.
Lorsque l’angle donné AMP' est droit, sa tangente t est infinie, et alors le dernier terme de l’équation (A) s’évïtv nouit ; de manière que l’on a simplement
x1 -f y* — ax = o, comme dans le problème précédent.
Pour donner encore quelques exemples de construction des équations indéterminées , voici comment on procédera a, l’égard de celle que nous avons désignée par (A). On y fera
et
afin de transporter l’origine des coordonnées au centre de la courbe; et après avoir effectué les calculs nécessaires, on parviendra à
C’est l’équation du cercle rapportée au centre, le rayon étant
éga14 \/t + W (B)
Le moyen de construire cette expression radicale est aise. En effet, élevez sur le milieu de la droite AP' la perpendiculaire P m = — } l’extrémité m de cette perpendiculaire
sera le centre du cercle cherché , et la ligne AM en sera le rayon; ce qui est évident.
Il suit de cette construction que l’angle A wP = l’angle AMP' ; car l’équation de la droite Am est P/71 \ ï
et puisque la tangente de l’angle mAP est p sa cotangente
ou la tangente de l’angle AmP sera = t. Concluons de là que l’angle au centre est double de l’angle inscrit : ce qui s’accorde parfaitement avec les considérations géométriques.
On remarquera que l’expression (B) du rayon peut être mise sous une forme plus simple; car d’abord on peut l’écrire ainsi
maie t = tang AMP' et |/ i -f <* = séc AMF ; doue
et / - «
— l/ I -f- t* = - : - rv •
2 1 2 sm M
On voit maintenant comment on résoudrait graphiquement ce problème : Déterminer la position d’un point D j connaissant les angles sous lesquels on voit de ce point les distances AB j AC données de grandeur et de position. Consultez , pour les solutions trigonométriques , le Traité de Géodésie j 2e édit. , tome I , page a33 , et le Traité de Topogr. , page 47’
Tiiéoréme.
^5. [Fig. 68.3 Si l’on divise en un meme nombre départies égales , deux droites AB , AC , faisant entre elles un angle quelconque ; puis si l’on Joint successivement tous les points de la première droite en commençant par B avec tous les points de la seconde droite , en commençant par le point (1) de cette ligne les intersections de deux droites consécutives prises dans l’ordre de ce tracé seront toutes sur une courbe parabolique .
Prenons pour axe des x la droite AX [ %• 69] , qui divise en deux parties égales la droite BC joignant les points
donnés et pour axe desjy la droite A Y parallèle à BC. Cela posé, si nous admettons que les lignes Mm, M'm' soient deux droites consécutives quelconques, leur intersection N sera un point de la courbe cherchée. Soient dans ce cas , MM' = a> mm — on aura , d’après le système de tracé que l’on vient d’indiquer,
MB— (n— z)a, Am~(n — z-j- i)b , C ï)6,
n étant le nombre des parties égales de AB ou de AC. De plus, si Ion fait AH = />, ïIB = y, on trouvera aisément que les coordonnées obliques des points M, m,M', m' sont pour le point M ,
