AP

pour le point m,

pm-'J{n-z+

pour le point M',

AF fL±0£

pour le point m ,

Ap=P-lliSZf}

Tl 1

Delà, la droite Mm, assujettie à passer par les deux points M, m, aura pour équation aux coordonnées obliques

"+1) (X—ZJL Y

P (2 z — n— 1) \ n /’ l’équation de la droite M,m/ sera pareillement

y n p{iz-n+7)\ n / ™

xMaintenant, puisqu’au point d’intersection N les coordou •

nées x , y sont les mêmes pour les droites Mm,M.'/n , et que les deux équations précédentes sont les seules qui existent entre les trois inconnues x, y, z, il est évident que l’on obtiendra l’équation de la courbe à laquelle appartiennent tous les points N ^ en éliminant z entre ces deux équations. Afin d’effectuer plus commodément cette élimination, l’on ordonnera par rapport à z les équations dont il s’agit , et l’on aura, toutes réductions faites,

(jn ny+f<n+ Q . npy (n+ 1 ) -f ngx (»+ 0 .p

; q *pq

. g (» — ny . npy{n--\)+nqx(n+iy--*npq q

K q *pq

Or, en soustrayant ces deux résultats l’un de l’autre, on obtient

- = ny nq ■

et en substituant cette valeur dans l’équation ( i') on a

npy% — 2?a (» + O *-\-pq* (» + *) = °* (3)

Donc la courbe cherchée est une parabole; et son diamètre coïncide évidemment avec l’axe des x , puisque l’ordonnée y n’entre qu’à la seconde puissance dans cette équation.

Si l’on prenait le point H pour origine des coordonnées, et qu’on désignât para;' la nouvelle abscisse, on aurait, à cause de x = p -j~ x ',

(3') npy * — 2gr» („ 4. ! ) x' p<fn — 0 -,

faisant ici y = o , l’abscisse de l’extrémité du diamètre serait

x, — pn

La plus petite valeur admissible de n est 2, auquel cas

X — — — y et n peut croître depuis ce terme jusqu’à Pin-

fini : or, à cette dernière limite, on a x = — — : ainsi,

la parabole qui a le plus grand paramètre répond à n — 2 , et celle qui aurait le plus petit paramètre répondrait à

ou à » = 00. Jamais, par la méthode graphique

exposée, on ne pourra obtenir cette parabole limite-, mais on en approchera d’autant plus , que AB et AC contiendront plus de parties. Pour connaître l’usage de ce tracé, voyez le n° 182 de mon Traité de Topog.j 2e édit. ; et un Mémoire de M. Brianchon , inséré dans le journal de l’École Polytechnique, 19e cahier, tome XII.

problème.

96 Trouver le lieu du sommet d’un triangle dont la base est donnée j et dont les deux angles adjacens ont une dijjfé rence donnée.

[] Fig. 70.3 La hase AB =-= a du triangle AMB est donnée , ainsi que la différence J' des angles inconnus MAB = A , MBA = B. On demande la nature de la courbe sur laquelle sont situés les sommets M de tous les triangles que l’on peut construire avec les mêmes données.

Soient x ) y les coordonnées rectangles du point M , et A l’origine des axes.

Puisque *= A — B , on a tang f = ■ ta"gf — — i 0 1 -j- tang À tang B

mais à cause de tang A = ■£, et de tang B = — - — , cette

expression de tang J se change en celle-ci :

tang J1 =

y (a— x) — xy (a — .r) x—y2'

d’où

Si l’on compare cette équation avec l’équation générale des courbes du second ordre ,

Ay* -f Bxy -h Cx* -f- Dy -f- Ex = F , (2)

on verra d’abord que la condition 4AC — Ba o est satisfaite : en effet , l’on a 4^-C — Ba = — courir

cherchée est donc une hyperl>ole.

Il est facile de déduire de l’équation (2) celle des asymptotes, qui est

y 2A ïaL i/b*— 4acJ w

par conséquent, l’équation (1) fournira, dans la même circonstance ,

y = ~ tang* '*"î tangl * 4 (Ts^t) ^ ’ + U”®‘J ' (3)

Toute la partie rationnelle de ce résultat étant l’équation d’un diamètre, c’est-à-dire

* = -dh + :

tang ï ~ 2 tang on aura l’abscisse du centre de l’hyperbole, en faisant

±Ki^ir),/,+tansv=0i

ce qui donnera

puis mettant cette valeur dans l’équation (4) , on trouvera , pour l’ordonnée de ce centre ,

(*) Voyez d’aillenrs sur ce sujet les n°» ifo et de V Essai de Géométrie analytique par M. Biot, on la Théorie des Courbes de M. Boucharlat, page aa5.

FHOFOSITION3

ao6

Ainsi, ce point est le milieu même de la droite a. Ce procédé revient évidemment à combiner les équations (3) des deux asymptotes pour en déduire les valeurs des coordonnées de leur point d’intersection.

Il reste à déterminer la direction de ccs droites. Pour cet effet, on cherchera les coordonnées des points où elles coupent l’axe desjy, en faisant x = o dans l’équation (3), et on aura, en désignant parj/,^" les deux valeurs résultantes

<*e yt ■

' == AG =t ■

tang /