AH

2 tang «î' a sin ’

les droites KG, KH déterminées de cette manière sont donc les asymptotes cherchées. Il est remarquable qu’en multipliant entre elles ces deux valeurs, on obtient .

~ = AK ; donc l’angle GKH des asymptotes est droit; donc

l’hyperbole cherchée est équilatère.

Mais quel est l’angle qu’une de ces lignes forme avec l’axe des a;? La réponse est facile à faire; car on a

tang BKII' = == — ; — — r = tang { ^ :

* BK sin f tang J' &a

donc l’angle BKH' est égal à la moitié de la différence £ des angles A et B.

Newton, après être parvenu aux mêmes conséquences, par une méthode de calcul qui lui est propre ( Arith. Vniv., prob. 40, imagina, pour donner la solution la plus simple possible de ce problème , de prendre les asymptotes mêmes pour les axes des coordonnées; mais ce grand génie n’aurait peut-être pas eu une pareille idée , si l’analyse ne la lui eût fournie.

de géométrie.

PROBLÈME

97 ‘ Deux cercles étant donnés de grandeur et de position sur un plan > trouver le lieu des centres de tous les cercles qui sont tan gens à la fois aux deux cercles donnés.

[Fig. 71.3 Supposons que le cercle cherché enveloppe les deux cercles donnes , et nommons % y y les coordonnées du centre du premier cercle , z sou rayon , a la distance AA,' des centres des deux autres , r et r les rayons de ces cercles.

11 suit de la propriété des triangles rectangles APM , A'PM , que l’on a d’uLe part

et de l’autre,

Développant ces équations, elles deviennent za — irz -f- ra = ara + y a,

2* — 2 f z -f- r 2 = aa — 2 ax -f- y* -f- a*.

Or, si on les comparait avec les formules du second degré,

za -f- Pz -f- Q == o , za -f- P'z -f- Q' = o,

qui , comme l’on sait , donnent pour résultat final ,

(P-F) (PQ'-QPO + (Q - Q')a = o , (A)

on arriverait aisément à l’équation de la courbe cherchée ; mais il est encore plus simple de procéder de la manière suivante.

Soustrayant 1 une de l’autre les équations (1) et (2), on a

2ax — aa + r'9 — ra

et ajoutant ici — r de part et d’autre, on obtient

ao8

2 ax — a9 + (r — r )*

puis introduisant cette valeur dans l’équation (i), il vient

4 (r— r'yy+ 4 [('■— r'Y— au~]x*— 4 a C(r — r')a — *

= [('— rj-a'y. (A')

Cette équation est celle de l’hyperbole, parce que les coefficiens de .r9 et de y9 sont de signes contraires. En effet, à cause de r — r < a , on a 4 (,r — r)* < 4a#*

Mais lorsque r — r = a , ce qui est dans le cas de la fig. 72, l’équation de la courbe hyperbolique devient, en y faisant les réductions convenables , y = o. Ce résultat étant indépendant de x , il en résulte qu’à tous les points de l’axe des abscisses, l’ordonnée du centre cherché est nulle.

De même, si r— r , l’équation de l’hyperbole devient

et l’on tire de là ,

ce qui indique, comme on devait bien s’y attendre, que, quelle que soit l’ordonnée y, l’abscisse est toujours constante. Enfin , si les cercles donnés de grandeur et de position étaient tels que l’on eût r — r > a , la courbe cherchée serait une ellipse.

Nous ne laisserons point ignorer que l’on peut plus promptement découvrir la nature de la courbe cherchée , car puisque, d’un côté, l’on a AM = z — r [fig. 71] , et de l’autre A'M = z — /, il s’ensuit que

AM — A'M = (z — r) — (z — /) — r — r.

Ce résultat se trouvant délivré du rayon du cercle cherché, l’on en doit conclure que la différence des rayons vecteurs AM, A'M est toujours constante, soit que le cercle cherché

de GÉOMÉTRIE. 20g

enveloppe les cercles donnés , soit qu’il les laisse tous deux au-dehors. La courbe des centres en question est donc une hyperbole, qui a pour foyers les centres mêmes des cercles donnés, et pour grand axe la différence de leurs rayons.

On peut en outre obtenir les sommets des hyperboles opposées, sans être obligé de recourir à la transposition des axes : en effet, au point où l’hyperbole coupe l’axe des abscisses, l’ordonnée est nulle; faisant donc y = o dans l’équation (A'), et divisant tout par le coefficient de on aura,

x'-ax =

Cette équation étant résolue par rapport à x , on obtiendra

Comme la première valeur- de x répond à l’abscisse AS', et la seconde valeur à l’abscisse AS, le grand axe SS' de l’hyperbole sera égal a r — r', et le centre O sera situé au milieu de la distance AA'. De plus, la branche hyperbolique * SQ sera celle sur laquelle sont situés les centres des cercles enveloppans , tandis que la branche t/S'Q' renfermera les centres de tous les cercles qui laissent les cercles donnés audehors.

Rien n’est plus facile que de se rendre compte des autres particularités du problème , et d’appliquer cette solu* tion à la recherche d’un cercle qui en touche trois autres; puisque ce cercle doit avoir son centre à l’intersection des courbes qui contiennent les centres des cercles mobiles formant contact avec les cercles donnés#pris deux à deux. Toutefois , le procédé exposé à cet égard au n° 85 , est de beaucoup préférable à ce dernier , à cause de son extrême simplicité.

aïo

PBOBIiÈMB.

g8. Trouver la nature de la courbe qui renferme tous les * points desquels menant deux tangentes à une parabole donnée , ces tangentes forment entre elles un angle donne.

[Fig. 73.] Désignons respectivement par les

coordonnées des points de contact M, M', et par t la tangente de l’angle donné.

L’équation de la parabole sera

p*=pct, ou ÇS* =p*',

p étant le paramètre ; et celle de la droite TM assujettie à toucher cette courbe donnée, sera ( n° 53)

ajS 'y = px + ap , ( 0

en prenant x, y pour les coordonnées courantes.

Pareillement l’équation de la tangente T'M', assujettie à passer par le point M' pour lequel P'M' = — 0, sera

— 2 P y = px -f- a! p j (2)

mais les coordonnées du point m d’intersection de ces tangentes doivent être les mêmes dans les équations (i) et (2) , et ce point m étant situé du coté des abscisses négatives, il faudra, pour avoir égard à cette circonstance, changer x en * ; alors les équations ci-dessus deviendront

2 fiy —~px + *p,

2|S 'y= px — et p",

et comme des équations /3 * — ap, Æ'1 = efp, qui convienneiu aux points de contact , on tire ces valeurs

U est clair que l’on a

2 fry = — px -f Æa > 1

2 0y = px — f

cVoù l’on tire

DE (VÉOMÉTBiF.

ait

* — y — Vp* + y\

P=—y=t y/px +y;

D’un autre coté, l’angle MmM' = MTA -f- ATM'; et à cause des équations (3) , (4) qui donnent, abstraction faite des signes, ou pour valeurs absolues,

on a ainsi , d’après le n° 45 ,

t = A + A' __ Zet$' +

i — AA' 4 *’*' — fifl'

Substituant dans ce résultat, pour a et a, leurs valeurs données par les équations C3), on aura, après avoir chassé le dénominateur,

Mettant en outre dans celle-ci,- au lieu de /3 et & leurs valeurs obtenues précédemment, il viendra, en divisant tout par y?,

4*r —ptz= 4 \/px -+-y.

Élevant les deux membres au carré, pour faire disparaître le radical, on aura enfin

équation à l’hypcrbole, puisque sa forme se rapporte évidemment à la formule A >* C'a* + E'a = M , qui représente cette courbe (n° 4g).

Le moyen de transporter l’origine au centre de l’hyperbole , et de donner par conséquent à l’équation précédente

la forme y *= — ( x,% — aa) , est de chasser le terme où x se trouve à la première puissance, en mettant x' 4- q au

propositions

lieu de * dans l’équation de la courbe; niais on sait d’ailleurs, par la théorie des équations , qu’en pareil cas , l’on a

' + P JL. JP-.

La formule (A) deviendra donc, par la substitution de cette valeur,

Pour trouver le premier demi-axe , on fera , dans ce résultat,^ = o, et l’on obtiendra

et pour trouver le second demi-axe , on fera ^' = o , ce qm donnera

9 = 6 = * hVT+r'-

Si l’on se rappelle maintenant que , parle calcul des fonctions circulaires, on a

tang m

sin m = ^

on pourra simplifier i’expression des demi-axes, ainsi qu il suit: par exemple, en désignant le sinus de l’angle MmW par/, lorsque sa tangente l’est par f,on conclura, à l’aide de la formule précédente , que

et par suite

ainsi l’équation (B) devient

ai3

Il suit de la qu’en diminuant les * de la quantité 4 P ~h et décrivant une hyperbole dont les axes soient

^ a, et 2 b, cette courbe sera le lieu de l’équation (A).

Dans la solution précédente, on a supposé que l’angle (fonné MtoM était aigu , et il est visible que lorsqu’il est obtus, sa tangente négative, qui n’entre dans tous les termes de 1 équation (A) qu’à la seconde puissance , n’y produit aucun changement. Concluons donc que les deux branches hyperboliques, l’une QR , satisfait au cas où l’angle proposé est aigu , et l’autre QR' , au cas où cet angle est obtus et supplément du premier.

Enfin, s’il arrivait que l’angle MmM' fût droit, la ligue cherchée serait la directrice même de la parabole, parce •qu’alors l’équation (B') donnerait, quelle que fût y/ ,x' = o ,

et à cause de x =x' -+■ p -f- j ^ , on aurait dans la même

circonstance x = $p , ce qui exprime la distance du sommet de la courbe à la directrice.

En cherchant, par un procédé analogue, quelle serait la courbe que parcourrait le sommet d’un angle droit dont les cêtés toucheraient constamment une ellipse, on trouverait l’équation du cercle; mais cette question particulière est susceptible d etre traitée plus élégamment), ainsi qu’il suit (*).

(+) Si l’angle des deux tangentes à l’ellipse , au lieu d’être droit , était quelconque , on trouverait , par un calcul analogue au precedent , une équation du quatrième degré entre les coordonnées x , y, de laquelle résulteraient les deux courbes fermées qui satisferaient à l’angle donné et à son supplément ; mais comme cette équation ne serait pas décomposable en deux facteurs rationnels du second degré , les lieux géométriques cherchés ne pourraient être déterminés que par la discussion 'mruédiate de l’équation dont il s'agit.

99. Trouver le lieu géométrique du sommet d’un angle droit dont les côtés sont constamment tangens à une courbe du second degré.

Première solution. Soient x' , y ; x", y" les coordonnées rectangles des points de contact des tangentes T , T' avec^a courbe du second degré représentée par l’équation A*a -f- By* = 1 ;

on aura entre ces coordonnées les relations

et les équations des deux tangentes T, T' passant par un point variable x,y , seront

Ax'x -f" = J, |

Ax'x 4- B y" y = 1. J

De plus, la condition que ces tangentes soient rectangulaires sera exprimée (n° 42) par

AV*" 4- B y/ =s o. (3)

Nous voilà donc parvenus à cinq équations entre les quatre coordonnées x' y , x" y" des points de contact; ainsi l’on conçoit la possibilité d’obtenir une équation dégagée entièrement de ces coordonnées ; mais pour employer dans cette circonstance un mode d’élimination facile , on aura égard à ce qui a été démontré au n° 48 , savoir, qu’au système d’équations

fl» + iî=R‘, a'* + b'> =R'\ aa' + bb'z^o correspond cet autre

DB GÉOMÉTIU*.

Si l’on fait donc

A x'=za, B y' — b, A x" — a, By* = b' , les équations ( i , 3) formeront ce nouveau groupe :