CICL -f" Üti

ou faisant aa -f- bx = Ra , <l% -f- = R'*,

on aura, conformément à la remarque précédente,

Cela posé, si l’on ajoute ensemble les carrés des équai ions (2) divisées respectivement par R et R', et qu’on réduise en vertu de ces dernières relations (5) * il viendra

Si l’on ajoute pareillement les deux premières équations (4) après les avoir divisées respectivement par R* et R'*, on aura, à cause des relations (5) ,

-L + J JL + JL. *

Ra ~ R'a A ^ B ’

donc le résultat

nprime que le lieu géométrique cherché est un cercle. Deuxième solution. 11 est un autre procédé analytique

216 propositions

non moins élégant qui résout cette question \ c’est de rapporter d’abord la courbe du second ordre à des coordonnées rectangulaires qui aient pour axes les deux tangentes T, T'. Pour cet effet, l’on mettra dans l’équation (i) de la courbe, ces valeurs

x ^mt-\-pu +x, y'=nt + qu+y,

dans lesquelles x ,y désignent comme ci-dessus les coordonnées du point d’intersection des tangentes T, T', point que 1 on prend maintenant pour origine des axes ; et il viendra

( Ap> + Bq3) + f (Am2 + B »*)

+ (A mp -f- Bnq)

“h 3u (A/JJf ■+■ B qy) 2 1 (Aro* -f- Bny )

Or, faisant successivement u et t = o , et résolvant les équations restantes, on exprimera que la courbe est rapportée aux axes tangentiels T, T' en écrivant analytique' ment que les deux valeurs de t et de u sont égales respectivement, ce qui fournira ces deux équations de condition:

(6) / 0**y + n%x% — 2 mnxy) — A;/»2 -f- B»2 ,

l AB (pY + q'x* — 2 pqxy ) = A p* -f Bq3 ;

et comme on a en outre (n* 48) ces relations

(7) m* -j- p3 ~ i , n2-f-gr*=i, mn-\-pq = 0,

il est évident qu’en ajoutant les équations (6) terme à terme et opérant les réductions que présentent les relations (7) , on obtiendra comme ci-dessus

V oyez d’autres applications de ce procédé dans un ouvrage très intéressant de M. Lamé, lequel a pour titre : Examen ■ des différentes méthodes pour résoudre les problèmes de Géométrie (Paris, 1818).

problème.

100. [[Fig. 6°.] Trouver un point M' duquel ayant abaissé des perpendiculaires sur les côtés d’un angle donné MAB , le quadrilatère qui en résulte soit équivalent à un carré qa.

Soient a la tangente de l’angle donné MAB , et x' , y' les coordonnées du point M' clierché.

L’équation de la droite AM qui passe par l’origine A, est

y —as ; ,

et celle de la droite MM' qui lui est perpendiculaire , est

Ainsi les coordonnées du point M d’intersection de ces droites seront

x -f- ay ax -f- a* y

X ~~ !+aJ ’ y— x+a*

L’aire du triangle AMM' , exprimée en fonction des coordonnées des sommets de ses angles, est (n° ioi. L. C.)

x' ( ax' + a2/ ) — / (x' + ay)

et l’aire du triangle ÀP'M' = ^^-. Or, comme le quadrilatère AMM'P'= AMM' -f- AM'P' =q* , il s’ensuit que a2x'ÿ -f- ax'2 — xy — ay'2 x'y -f - a2x'y —iq2 ( 1 *4" a§) » ou, en changeant les sigues, réduisant et divisant tout par a ,

Ül6

Telle est l’équation qu’il faudrait construire pour obtenir le lieu de tous les points M' qui satisfont à la condition du problème proposé. Si l’on résout cette équation par rapport à y y on aura

y = ax' ± y/( 1 +«’) — ^-) ;

d’où l’on voit que la courbe résultante est une hyperbole qui a son centre au point A„ et qu’à cause de la quantité rationnelle ax' , la droite AM doit être prise pour un de ses diamètres ( n° m.L. C.). On portera donc parallèlement à l’axe AY, tant au-dessus qu’au-dessous de AM et de Am(

des parties égales à y/ ( 1 -f- ua ) ^*r'a — ~y) > l’ensemble

des points que l’on obtiendra de cette manière déterminera les branches de la courbe à décrire. Nous ne nous étendrons pas davantage sur les détails de cette construction, parce qu’ils ne présentent aucune difficulté; nous remarquerons seulement que si, dans’ l’équation (A), l’on voulait chasser le terme multiplié par x'y' , il faudrait changer la direction des coordonnées, en y faisant (n° 4°)

x ' z=mt — nu , y' = nt + mu’f

et, dans ce cas , l’équation résultante serait celle de l’hyperhole rapportée à ses axes.

Lorsque a est infinie , ou , ce qui est de même , lorsque l’angle donné MAB est droit) l’équation (A) se réduit à xy — <7* , parce que tous les termes sans a sont nuis par rapport à ceux qui en renferment; mais si Fon veut éviter

la considération de l'infini, on fera a ~ — — ■— , et l’équa-

cos A

tion (A) Reviendra , par la substitution de cette valeur, et après avoit chassé le dénominateur cos A ,

cos A/a — 2 sin A xy — cos A*'a = 2^a ^

L’angle MAB étant droit, on a cos A = o, et sin A = i ; ainsi, l’équation précédente se réduit à

c’est celle de l’hyperbole équilatèrc entre ses asymptotes AX, AY.

Enfin, si l’angle est plus grand qu’un quadrant, sa tangente a devient négative, et l’équation (A), qui appartient encore à l’hyperbole, se change en

11 y a plusieurs rhoyens de rendre le problème actuel déterminé; par exemple, il le serait, si la perpendiculaire MM' devait être tangente à un cercle donné de grandeur et de position , et que toutes choses fussent égales d’ailleurs comme précédemment; mais alors le carré q 1 ne pourrait excéder certaines limites.

PROBLÈME

ioi. QFig. 740 Deux cercles AB, A'B' étant donnés de. grandeur et de position sur un plan j et ayant mené par un point quelconque C' du cercle A'B' une tangente indéfinie C T, qui coupe Vautre cercle AB en deux points m , m', par lesquels soient menées à celui-ci les tangentes mM , m M; on demande la nature de la ligne sur laquelle sont situés tous les points de concours 31.

Soient a et $ les coordonnées rectangles du point 31 cherché; rayon AB = r, rayon A'B' = /; et désignons par a la distance AA' des deux centres.

La corde joignant les points de contact ni , ni des deux tangentes au cercle AB, qui se rencontrent en un point 31 dont les coordonnées variables sont * , fi , a pour équation

puisque celle du cercle dont il s’agit est

Cette corde coupe l’axe des x en un point T dont l’ab^ scisse AT = x, se trouve, en faisant j/=:o dans l’équation (i) : ainsi l’on a

xt •zz — j

et elle fait avec ce même axe un angle T dont la tangente tabulaire a pour expression , abstraction faite du signe ,

tangT = ^.

Or, par une formule de Trigonométrie ,

! T = tan,gT __ .

Vi-Mang’T -fi*’

et parce que la corde mm prolongée doit être tangente au cercle A' B', le triangle rectangle AC'T donne ( n° 3 )

A'T = a -f- Xi = — — ?p ;

sin r

ou substituant pour jc, et sin T leurs valeurs précédentes on a

r y/ a2 -h fi*

Réduisant au même dénominateur , chassant le radical , et faisant passer tous les termes dans un même membre, il vient enfin,

— a%\ . 2ar“ r*

Telle est l’équation de la courbe d’intersection des tan-

DK GÉOMÉTRIE.

gentes toM , m M, dont le lieu est une parabole, une ellipse ou une hyperliole, selon que r est égal ou plus grand, ou moindre que a.

PROBLÈME

102. Si deux sécantes à une courbe du second ordre partent d'un même point fixe j et qu'on joigne par des droites les extrémités réciproques des cordes résultantes quel sera le lieu géométrique de V intersection de ces nouv elles sécantes?

Les considérations analytiques qui paraissent conduire par la voie la plus directe et la plus simple à la solution de ces sortes de problèmes, et qui ont une grande généralité, sont fondées sur ce que l’ensemble de deux droites partant d’un même point et, (2 peut être représenté par une seule équation du second degré de la forme suivante :

(y — Æ)a + A(X— et) + B(x— *)a = o,

lorsqu’on transporte l’origine des coordonnées à leur point d’intersection (n° 5o ) , et qu’en combinant ainsi plusieurs couples de lignes droites avec des courbes du second degré qui ont avec elles des points communs , les éliminations se présentent en moindre nombre et s’effectuent plus facilement : c’est ce que l’on a déjà vu au n° 62.

Représentons par

y*=px + qx% (1)

l’équation de la courbe du second degré , ARR' (fig. 98) ; par

(y — £)* + A(x — a) (^ — fi) -f B(x — *)» = o, (2)

le système des deux sécantes MR', M r , menées par le point fixe M dont les coordonnées sont et , fi \ et par (y - fty + A' (* - et') (y - fi') + B' (* - *y = O , (3) lé système des deux autres sécantes M'r, MV, menées par

PR0P05ITI0NS

les extrémités des cordes RR', rr, et se coupant en ün point M' dont les coordonnées variables sont et', fi'.

Toutes ces lignes ayant des points communs, les variables x , y doivent avoir les mêmes valeurs dans les trois équations précédentes; et il est évident qu’en multipliant (2) et (3) respectivement par les deux constantes arbitraires m., m , la somme de ces produits peut être considérée comme identique à l’équation (1); ce qui fournira entre les six constantes arbitraires A, A', B, B m, m , les six relations

m -f- rri — 1 , km -f- k'm = o , B m -f- B 'm — — q ,

2 mfi -f- 2m' fi' 4 kmct km' a! — o ,

2B/7Z2 T.B'ma.' -f- Am/3 -f- k'm fi' —p,

mfi* -}- m fi'* + B/rest* -f- B 'met'* -+- kmetfi -f- k'm' et' fi' = o.

Le moyen d’obtenir une nouvelle équation indépendante de la direction des deux sécantes MR', Mr, est d’éliminer

A, A', B, B'. Or, à cause de A' m' = — km, et de .

B 'm' = — (q - h Bro) , les trois dernières relations ci-dessus deviennent

i(mfi -f- mfi!) 4- km (et — a') = o ,

a.Bm(at — et) -f- km (fi — fi!) — (2a'ÿ -f- p) = o , m/ S*-f- m'/i'*-)- B/n (a* — et' *) 4 km (etfi — et'/}') — qa!* ~ o

Multipliant respectivement les deux premières de ce nouveau système par (fi 4- fi') et (et -f- <*■') \ puis soustrayant la somme des deux produits résultans, de la troisième relation , on aura pour reste

(m -f- m) fifi' — (u'q 4” i p) (A + *') + qa!*— o, ou réduisant et remarquant que m -f- m = 1 , il viendra définitivement

fifi' — qetet' = £ p (et + et'). (4)

Ainsi, le lieu géométrique, dont les coordonnées courantes sont a! f! , est une droite ; et lorsque le point fixe M est, comme

clans la ligure, extérieur à la courbe ARR', cette droite joint les points de contact des deux tangentes menées par ce point à cette même courbe (n° 55).

De là la possibilité de mener , avec le secours de la règle seulement , une tangente à une courbe du second ordre par un point extérieur.

Voyez sur cette théorie des transversales, Y Examen des différentes méthodes pour résoudre les problèmes de Géométrie par M. Lamé.

PROBLÈME

i o3. Inscrire une ellipse dans un triangle , de manière qu un de ses diamètres soit situé sur la ligne qui passe par le sommet et par le milieu de la base de ce triangle.

[Fig. 75.3 Le grand diamètre AB étant pris sur la ligne AT qui passe par le milieu de la base GII et par le point T, le petit diamètre CD sera nécessairement parallèle à la tangente GII , et les points de contact M , M' seront aux extrémités de la double ordonnée MM' ; parce qu’à une même pbscisse correspondent deux ordonnées égales , et que les tangentes qui leur sont relatives , se rencontrent sur le prolongement du diamètre.

Cela posé , faisons GH =: im , AG = m , AT r= n , le diamètre AB= 2 a', son conjugué CD = 26'; et désignons par et, /3 les coordonnées OP, PM du point M.

L’équation de l’ellipse, relativement à ses diamètres, est. a!ht} -f b'H' ~ a'W,

t étant considérée comme l’abscisse prise sur AB , et u comme l’ordonnée correspondante. Cette équation deviendra , pour le point M ,

+ = «'•&'*. 0) De plus, les points T, M, H étant sur une même droite.

224 propositions