AU ,PM
les rapports et p^- , sont nécessairement égaux ; ainsi , en employant la notation algébrique , on a
d’où l’on tire
fi =
(n — a — et) m n
Enfin , pour exprimer que les lignes GT, TH sont en contact avec l’ellipse, on aura
soutangente PT = - z=z n — a — et. (3)
Ces trois équations renfermant une inconnue de plus, le problème demeure indéterminé; c’est-à-dire qu’il existe une infinité d’ellipses qui jouissent de la propriété énoncée. Mais ce problème serait restreint à une seule solution , si l’on ajoutait cette condition, que l’ellipse à décrire doit toucher le milieu du côté HT; car alors on a
et l’équation (a) devenant, par le moyen de cette valeur, . £ = — , il s’ensuit que les équations (i) et (3) se changent respectivement en
et
Cette dernière donnant a' = ^, la précédente fournira
m* -f- b,% = 4 br%> et par conséquent b' = y/ = OD.
Le second demi-diamètre est donc moyen proportionnel entre et m ; ou bien à cause de OK = ~ et de PM = —, ce
même demi-diamètre est moyen proportionnel entre OK et PM.
D’un autre côté , puisque a = ^ , le centre O de l’el¬
lipse se trouve nécessairement sur la ligne HM' qui aboutit au milieu de GT : c’est une conséquence immédiate du théorème (n° 61.)
Il est clair que si le triangle donné GTH était isoscèle , les lignes AB , CD devraient être prises pour les axes mêmes de l’ellipse. On voit en outre que si ce triangle était
équilatéral , on aurait n — 3 m? , et AO =
en même temps que l’on a OD = y — ; ainsi dans ce cas
l’ellipse dégénère en cercle , comme on devait bien s’y attendre. •
Ces valeurs particulières de a ' et b' se déduiraient non moins Acilement des expressions générales ; car il est aisé de trouver que
2/re — / 3 ’ b —m
Il est remarquable que l’ellipse, décrite suivant les conditions qui viennent d’être énoncées, est la plus grande de toutes celles qui sont inscriptibles dans le triangle GHT.
PROBLÈME
,04* [Fig. 76.3 Décrire une courbe du second ordre qui passe par un point donné M' , et qui soit tangente aux côtés d un angle MT m , en deux points donnés m , M.
Supposons que la courbe soit une ellipse. Joignez m M, • i5
et par le milieu P de cette ligne, tirez PT qui sera soutaugente par rapport aux demi-diamètres conjugués AB' , AC' formant entre eux un angle représenté par TPM-, désigne* par
| les coordonnées des points
comptées à partir du centre A.
Soit de plus
AB '—a', kC~b', PT =m, PF ~n.
L’équation de l’ellipse, par rapport à scs diamètres, est -+* b'at a = a'2b
Or, pour les points M, M' donnés, elle prendra la forme
et
L’expression de la soutangente PT ou m , est pour l’abscisse a' + nou AP ,
et des équations (1) et (2), l’on obtient,
a'* — (*'+ ny
égalant ces deux valeurs, l’on a, après la simplification nécessaire,
et parce que l’équation (3) donne
on aura, en mettant cette valeur dans l’équation précédente,
ffnut -f- pmn -F ipdn -f-0 a»* = -f- P>amn ,
d’où l’on tire
^ ( fi'2 — /3a ) mn — /8*ita
~ 2 pn — /8a) m *
et par conséquent AP ou
2 a/3‘ — OT*
Maintenant que a est connue , la valeur de a déduite de l’équation (3) sera exprimée par
et 1 équation (i) donnera, pour l’expression du second demidiamètre b' ,
l/a a — ( ce -f- n)*
Les deux demi-diamètres conjugués étant connus, l’on pourra déterminer la grandeur des demi-axes de l’ellipse, et leur position à l’égard des diamètres. Quoique le calcul qu’exige cette détermination ne soit rien moins que difficile, nous l’entreprendrons en faveur de quelques lecteurs ; mais auparavant tirons quelques conséquences des résultats que nous venons d’obtenir.
Il peut arriver d’abord que les points m , M soient également éloignés de T, en même temps que a = b' ; or, si ces deux circonstances ont lieu à la fois , l’angle TPM sera droit, et la courbe elliptique se changera en circonférence de cercle. Il suit de là que
, ,. a* — ( & ri)* *
cest-a-dire,
D’ailleurs a * = m («' + n) + («' 4. . ainsi ^ deux
valeurs on conclura
Egalant en outre celle-ci avec la valeur (A) obtenue plu* haut, il en résultera PT ou.
Telle est la hauteur qui convient au triangle isocèle , pour que la courbe à décrire soit un cercle.
Si, dans l’expression générale de a/ + n = AP, donnée par l’équation (A), on avait 2 raj3a = (/8'a — £a) m, ou
m = ^/a - — , cette expression serait infinie, de même que
les valeurs de a' et de b' -, ainsi l’ellipse deviendrait une parabole. Quant au sommet B' de cette dernière courbe,
on le déterminera en prenant TB' = ^ , parce que dans la
parabole la soutangente PT est double de l’abscisse PB', l’origine des coordonnées étant rapportée au poiut B'. De plus, l’équation de cette courbe, pour le point M, et par
rapport au diamètre AB', est /îa = P étant le paramètre Par conséquent pour un point quelconque, on a
Enfin , si dans l’équation (A), 2 n/ 3U < ^ (/3'a — /S2) m , ou m > pr—p, le centre de la courbe cherchée sera situé à
l’opposé de AP, c’est-à-dire en A' ; et pour lors celte courbe sera une hyperbole, dont on déterminera les demiaxes au moyen des demi-diamètres conjugués. Voici à ce sujet le développement des calculs auxquels l’ellipse donne lieu.
io5. Les deux diamètres conjugués dJ une ellipse étant donnés avec V angle quJ ils forment entre eux j trouver les deux demi-axes.
11 a été démontré (n*s 146 et 147. L. C.) qu’entre les-
DE GÉOMÉTRIE. 22g
vieux demi-axe# a, b, et les deux demi-diamètres conjugués a , i) on a ces deux relations :
a2 -+■ b2 = ol% -f- b'2 , ab — a b' /,
/ exprimant le sinus de l’angle formé par les diamètres conjugués.
Si l’on ajoute à la première , et si l’on soustrait de celleci le double de la seconde , on aura,
aa -f- b1 -f- 2 ab = a 2 -f- b'2 -f- 2 ab'J , a2 -f- b2 — lab = a 2 -f- b'2 — ia'b' /; extrayant la racine carrée , il vient ,
a b — Va'2 4- b'2 -+- 2 dVf,
a — b ~ V/ a"Â -f b'2 — 2a' 67, d’où l’on tire sur-le-champ ,
2« = V/ (a'a -f- £'a -f- 2 ab'f) -f- y/ (a' J + &'a -* ■ ia' U J) , 2&= (ûr' * — {— Z»'a — f- la b' P) — {/(a 2 -f- b ’a — 2 u'b'f).
Ces quantités radicales se construisent commodément par le moyen du triangle obliquangle; car le premier radical se rapporte au triangle dont la perpendiculaire tombe audeliors, et le second radical, au triangle dont la perpendiculaire tombe au-dedans.
[Fig. 77.] Soit pour cet effet abaissée de l’extrémité C du diamètre , la perpendiculaire C' P sur son conjugé AB' , et soit prolongée C'P de la quantité C'D = AB' ; on aura pour l’expression du premier radical ,
AD = V^AC'VcdV 2c'D X PC'
= \/ b' 2 d 2 -1~ lab' f.
Soit^n outre C'PD' — AB' oü aura pour l’expression du -sceond radical
AD' = y/ AC'V C'D'* — aCD' X PC'
= V Ü* -f- à% — 2 ab'f
Le reste de l’opération n’a plus maintenant aucune difficulté.
Quant à l’angle C'AB , voici comment on le déterminera : on tirera des équations ,
a'a = ’»' + »'=*, CO
obtenues dans le (n° i/fô7 L. C.), la valeur de c’est-àdire, qu’en mettant pour m a sa valeur i — n* dans la première équation, on aura
sin C'A B — n=~ \/ £- Z a a Va1 — b a
Il en résulterait de même pour l’angle BAB',
sin BAB'= t/= -
U existe un moyen d’obtenir les angles C'AB = fl, ® = ® indépendamment des demi-diamètres conjugués:
en effet , l’équation de condition a2nq -f- b*mp ■=. o , trouvée au n° i^o (L. C.) , pouvant être écrite ainsi ,
tang 0 tang d' = — -- ; *
parce que Ô a pour sinus /», et 6' pour sinus q j il suffira alors de combiner cette équation avec cette autre :
tang (#' — ô) = t , ou
tang ô' — tang ô i + tang ô tang 0'
dans laquelle 6' — 6, qui est l’angle donné B "AC', a une tangente connue k.
On procéderait d’une manière analogue pour l’mpperbole; mais, dans ce cas , les valeurs de a et de b sont plus
compliquées que celles qui conviennent à l’ellipse, et ne sont pas susceptibles d’une construction aussi simple. Ceux qui voudront connaître la solution du problème inverse de celui-ci pourront consulter les E lé me ns de Géométrie analytique par M. Garnier , page 222. Mais nous ne saurions trop le répéter , ou ne peut bien se fortifier dans l’analyse qu’en cherchant à vaincre soi-même les difficultés qu’elle présente.
PROBLÈME
1 06. £ f ig. ,78.] Trouver V équation de la courbe DM'Q dont la propriété est telle que menant d’un point fixe A donné de position par rapport à une ligne CB, des droites AD , AM' à tous ses points chacune des parties CD , MM' de ces lignes soittF une grandeur donnée d.
Prenez pour coordonnées du système les droites AX, AY respectivement parallèles et perpendiculaires à la droite CB donnée; et soient
AC — b, CD = d y
AP' = *', PM' = y.
L’équation de la droite AM est y = A* , ou y — ^ Xi
("elle de la droite CB, qui est constamment parallèle à AX est y — b.
Ces deux équations étant accordées ensemble, donneront pour l’abscisse du point M, x=^~
D’un autre cdté , la distance AM' = y/V» et celle AM = h- l/xi~+~ÿ,T.
Or , a cause de AM — AM — MM', on aura,
AM = y/ x* -f-y'* — d ;
égalant cette valeur de AM à la précédente, il en imitera
y V*'%+ÿx — V*' + S' — dt
pt en chassant les radicaux, on obtiendra pour l’équation demandée,
ÿ* — 2 by’3 -f- h* y* — daÿ* -f- x'aya — iby xa -f- bax'a— o. La courbe à laquelle cette équation donne lieu , se nomme conchoide. Nicomèdej qui en est l’inventeur, s’en servit pour la résolution du problème de deux moyennes proportionnelles ( Hist . des Math. par Montucla, tom. i. p. 255.). Il est visible que la droite CB est l’asymptote de cette courbe.
Le problème dont nous parlons , et qui fut célèbre dans l’antiquité, est maintenant de peu d’intérêt pour les géomètres: considéré numériquement, sa solution dépend simplement de la résolution d’une équation d^3" degré à deux termes. En voici une solution géométrique.
Soient a, b les deux lignes entre lesquelles on veut insérer les deux moyens proportionnels x , y ; on aura
a l x II x l y II y l b , d’où l’on tire les deux équations suivantes,
xa — ay = o, ya — bx—O, (i)
qui donneraient les lieux de deux paraboles j mais en les ajoutant, on obtient
ya x 1 — ay — bx= o. (2)
Si, donc les axes des coordonnées sont rectangulaires, on aura les lignes x,y cherchées , par les intersections de l’une des paraboles (1), et du cercle dont l’équation est (2). Telle est l’une des solutions géométriques les plus simples que l’on puisse donner à ce sujet.
On voit, par cet exemple, qu’une combinaison bien simple des équations (1) a donné lieu à une autre courbe susceptible d’être employée dans la solution cherchée. On a déjà eu occasion aux noS 85 et 102, de s’assurer qu’il suffit quel-
quefois d’opérer d’une certaine manière sur les formules données immédiatement par les conditions d’un problème, pour en obtenir d’autres qui offrent des constructions simples et élégantes, ou qui applanissent les difficultés de l’élimination.
PROBLÈME
107. [Fig. 79.] Trouver l équation de la courbe A MC dont la propriété est telle que , si ayant décrit sur une droite donnée AB comme diamètre > le demi-cercle AM'B, et ayant élevé par le point B la perpendiculaire BN , on tire par le point A et par un point quelconque M de cette courbe , la droite AMN qui rencontre en M' la demi-circonférence s et en N la droite BN, on ait toujours
