AM~M'N

Soit la ligne donnée AB = 2 r, et x y les coordonnées du point M de la courbe proposée.

Puisque AM doit être égale à M'N , quel que soit d’ailleurs l’angle N AB, il est clair que l’on aura dans la même circonstance AP = P'B; ainsi AP' — 2 r — x .

L’équation du cercle étant y' — irx — *a, lorsque l’origine est au point A de la circonférence; on aura, pour le '•point M ,

/ = 2r(2r- x) — ( 2r — x )a, et l’équation de la droite AN deviendra , pour le même

Carrant celle-ci , et égalant son second membre à celui de l équation précédente , on aura, réduction faite,

ya(2 r — x')— x'3 = o.

C’est la cissoide dont Dioclès fit usage pour résoudre le problème de la duplication du cube : problème qui a été

traité au n° 170 de l Applicut. de V Alg. ù la Gèom. de M. Lacroix.

Nous parlons de ces espèces de courbes, afin de faire voir que l’analyse s’applique à toutes les questions possibles de Géométrie, et dans la vue de donner une idée des moyens ingénieux que les géomètres anciens avaient imaginés pour résoudre synthétiquement des problèmes qui éLaient pour eux d’une grande difficulté, parce que l’Algèbre leur était inconnue.

PROBLÈME

io8.[Fig. 80.] Quatre règles AM', Am', M'M", m'M* étant attachées ensemble en fur me de parallélogramme de manière quelles aient la liberté de tourner autour de leurs angles comme charnières ; et les règles m'M" , M'M" étant alongées des parties mm' , MM' respectivement égales aux règles Am', AM', déterminer la nature des courbes qui seront décrites par les points m , M" , lorsque le système tournant autour du'point\ comme pivot le point M parcourra une courbe connue.

Soit pris le point lixe A pour origine des coordonnées rectangles AX, AY, et appelpus

Y', Y', V les coordonnées 1 / x>ty,î celles km,

X", Y" \ ^es P0*11^ I jyp/ x' >y> / des points

b aisons de plus AM' = a , A ni a .

Première solution. 11 résulte d’abord de la construction que les trois points m , A ,M sont en ligne droite ; car à cause des parallèles mW, AM' et Am, MM', les angles mm A , m AM , AM M sont égaux ; d’où i’011 doit conclure que les triangles mm A , AM'M isoscèles sont nécessairement équiangles. Donc, quelle que soit la position de l’instrument, on aura toujours, entre les trois angles autour du point A, la relation

mS.m -|- /a' AM' 4 M'AM = iq ,

q désignant le quadrant ou le quart de la circouférence. Maintenant, si l’on mène A'M parallèle à AP, et que * l’on prolonge les ordonnées P'M', P 'M" jusqu’en N', N", le

sinus de l’angle M'MN' sera exprimé par le rapport .

ITM = - ÂTM' - ; dou lon l,re’ Par lemPl°l des

valeurs algébriques,

De même le cosinus de l’angle M'MN' aura pour expression , N'M A'N' — A'N" . .

m'm — mW * a,nsi ’

D’un autre côté, le triangle rectangle M'N'M donne cette équation,

(X' -f* Y)a 4 (X — X')* == «*, qui , étant développée et simplifiée , au moyen de la relation X'u-|-Y'a=a3, fournie par le triangle AP'M', se„réduit à X* 4 Ya — 2XX' 4 aYY' = o. (3)

Cela posé, si l’on résout les équations (1) et (2) par rapport à Y' et X', on aura

. aY" — g'Y

aX" + aX

Ensuite, si on met ces valeurs dans l’équation (3) , et dans la relation X'a 4 Y'a == a4, il viendra

(aX 4- axy 4 (aY" — a'Y)* — %a (a 4 «')’• (B)

On obtient, par rapport aux points /«, /»', M", des équations analogues à celles (A) , (B)] qui [sont' relatives aux points M , M', M" ; et il suffit pour cela de changer dans

celles-ci X eu x t Y en — y, a en a } et vice versa; ce

qui donne

(a'X" ax)2+ (a'Ÿ"+ayy— a '» (a-f- a’)2. (B')

Ce changement est fondé sur ce que les ordonnées x , y sont respectivement dans une situation opposée à celle des coordonnées X, Y , et qu’elles doivent , pour cette raison, être affectées de signes différens. Au reste, on pourra parvenir directement à ces derniers résultats par une marche semblable à celle que nous venons de suivre.

Le système d’équations (A'), (B') étant, à la différence des signes près, le même que celui qui est désigné par (A), (B) , on est en droit de conclure que si le point M parcourt une courbe, le point/» en décrit une semblable, et dont le rapport à l’autre est comme a ' \ a. Il est visible en outre , que ces équations, étant jointes avec l’équation de la courbe parcourue par un des joints m , M", M, suffiront pour déterminer la nature des courbes décrites par les deux autres points; car, à cause des six inconnues X , Y, x,y, X", Y", et de la coexistence de cinq équations, l’on arrivera toujours, par l’élimination, à une équation entre deux des inconnues que l’on voudra considérer.

Supposons, pour exemple , que le point M parcoure une droite donnée par l’équation Y = o (c’est, comme l’on sait , 1 axe même des abscisses); déterminer la courbe que décrit en même temps le point M".

Les équations (A) , (B) qui se rapportent au mouvement du point M deviendront, en y faisant Y = o,

(a — a') X = 2aX",

(a X + aX*)® -f- a2 Y"2 — a2 (a - f- a')®; et en éliminant X 4e la seconde , au moyen de sa valeur prise dans la première , on aura

a2Y"2 -f- ^oX" -h =d2 (a -f a)\

DE GÉOMÉTRIE. iSy

d’où l’on tire, pour équation de l’ellipse décrite par le point M",

Si , dans cette équation, l’on fait Y"a = o, on aura l’expression du demi-petit axe de l’eliipse pris sur AX : en y faisant au contraire X" — o, on obtiendra l’expression du demigrand axe pris sur A Y > dans le premier cas, l’on a

et dans le second ,

11 suit de là que si les deux axes m , n d’une ellipse sont donnés , on trouvera les longueurs des deux règles a , a, de manière que le point M parcourant une droite, le point M" décrive en même temps l’ellipse demandée. En effet , l’on aurait

Ce moyen très simple de décrire l'ellipse par un mouvement continu, est plus commode que celui qui consiste à faire tracer cette courbe par un des points d’une règle dont les extrémités sont assujetties à glisser le long de deux autres règles faisant entre elles un angle quelconque.

Deuxième solution. On peut , au surplus, en s’arrêtant à des considérations particulières, obtenir à moins de frais l’équation de la courbe décrite par le point M", lorsque le point M parcourt une droite : c’est ce que va prouver l’analyse suivante.

Soient x", y" les coordonnées de m" £ fig. 81], et adoptons d’ailleurs la même construction et la même notation que précédemment , en faisant de plus M 'm" = M'M = a .

Cela posé,, le triangle AM'M étant isoscèle , on a AP' = FM , et AP" = jt/M.

D’un autre côté, la courbe CM'B étant évidemment un cercle dont le rayon est AM', on a entre les coordonnées du point M' la relation

w ' .JT v ■

et parce que le sinus de l’angle M'MA

que son cosinus = — — - .

d) 1 ~%Tt

ou X = - -*■. ;

l’équation ( [m ) deviendra

ou bien comme ci-dessus ,

Il n est pas difficile de prouver que quel que soit l’angle AM M , la longueur de la droite MN est toujours égale à 2a.

Les jeunes mathématiciens, qui cultivent le dessin topographique, verront sans doute avec plaisir que le problème que nous venons de résoudre d’une manière générale , renferme implicitement toute la théorie du pantographe. La nature de cet ouvrage ne nous permet pas d’étendre plus loin ces considérations ; mais l’on peut consulter notre Traité de Topographie dJ Arpentage et de Nivellement, 2e édit. , sur ce qui a rapport à la théorie et à l’usage de ret instrument.

PROBLÈME

109. Faire passer un e courbe par plusieurs points donnés. [Tig. 82.3 Soient

les coordonnées respectives des' points connus ’,

11 est évident que puisque dans l’énoncé du problème rien n’indique l’espèce de courbe qui doit passer par les points que l’on considère, on peut donner à volonté tant de solutions que l’on voudra, en faisant usage des courbes qui soient , ou non , susceptibles d’être exprimées par des équations; mais pour nous arrêter aux solutions les plus aisées à employer, nous observerons avec Lagrange : « Que quoique » le cercle soit, après la ligne droite, la courbe la plus n facile à décrire, elle ne l’est pas par son équation entre » les coordonnées rectangles. Sous ce dernier point de vue , » on peut regarder comme les plus simples les courbes » dont l’ordonnée est exprimée par une fonction entière et » ationnelle de l’abscisse, telle que

y = A -{- Bjr -f- Car1 -{- Da^ -{- .

» Ces sortes de courbes se nomment en général paraboliques j » parce que l’on peut les considérer comme une généralisa- •» tiondela parabole qui a lieu lorsque l’équation n’a que »$les trois premiers termes. On en a déjà vu l’usage dans «a » théorie 4e la composition des équations (n° 172 L. C.); et » leur considération est toujours utile dans la gradation » des courbes , car l’on peut toujours faire passft- une courbe « de ce genre par tant de points que l’on vqj^ra d une » courbe proposée, puisqu’il n’y a qu’à prendre autant de n cocfficiens indéterminés A, B, C,D . *lue ^ on Cünw

r> sidère de points, et déterminer ces coefficiens de manière >» que les abscisses et les ordonnées pour ces points soient » données. Or , il est clair que quelle que puisse être la 11 courbe proposée, la courbe parabolique , ainsi traitée, en r> différera d’autant moins , que le nombre des points donués » sera plus grand , et leur distance moindre. »

En effet, dans la circonstance actuelle, on a entre les coordonnées des points M, M', M", M'®, qui appartiennent à la courbe paralxdique , les relations

£ = A + Bat 4 C*3 + Da3 4

P = A 4 B*' 4 C et'3 + Da'3 4

fi — A -4 Ba *4 Ca 3 4" Dit®3 -f- • • • •

A 4 B^'"4 Ca*3 4 D«'*3 4....

desquelles on peut tirer, par l’élimination ordinaire au premier degré , les valeurs des coefficiens , A , B, C , D . . . ; mais ces valeurs s’obtiennent encore avec plus de facilité par le procédé suivant.

Si l’on soustrait les équations précédentes l’une de l’autre, on aura

fi'— fi =B(«' — « )4-C(a 3— a* )+D(*'3 — a3 )4. • • •

fi' — £"=B(*"~a')4C(a"*= «'3)4D(«*3^-a'3)4. . . . /3W— /3"=B(a'*— a,;)4C(a"3— a,/3)-fD(a'*3—a,/3)4. . . .

Ces restes étant respectivement divisibles par a' — a f x a ; <*■' — a* , on obtiendra pour quotiens,

~ = B 4 C (ct'4 a) -f D (<t'a 4- + a1 )+ • • •

Les valeurs des fractions qui composent les premiers membres de ces équations sont connues ; ainsi , faisons pour abréger ,

DK OÉOMKTIUE. 2^1

On trouvera de cette manière

CQ') = C + D («" + .' + <£)...

Soient de même, pour abréger,

on trouvera

-3 - = D . . . . et ainsi de suite.