CL CL

même, que l’on n’ait que trois points donnés M, M', M", auquel cas l’équatiôn proposée sera

et les quotiens (Q), (Q') Se réduiront à

et — et

Substituant la valeur de C dans l’équation (i)« °n aura B — y — S'a - J'cL.

Substituant de même les valeurs de C et de B dans l’équation

fi ~ A -f- B et -f- C*.', on aura, après avoir réduit,

A = fi — y a. -f" <f cta ;

en mettant ces valeurs de A , B , C dans l’équation proposée , il viendra ,

y z=fi -h y (x — et ) -f- J' (x — « ) (* — a' ).

Le même artifice de calcul, employé dans la détermination d’un plus grand nombre de coelîiciens., conduirait à cette formule plus étendue , et dont la loi est facile à saisir , j=/3+y(x— a )+^(*— *)(x— «')+*(*— et)(x— *')(*— ce') . . .

Lagrange, qui rapporte cette solution d’après Newton ( Cahiers de V Ecole Normale ) , observe que l’on peut parvenir à un plus grand degré de simplicité par la considération suivante :

« Puisque, continue cet illustre géomètre, .y doit deve- » nir fi , fi' } fi" ••• • lorsque x devient a. , et', a" .. . il est n aisé de voir que l’expression de y sera de cette forme , y = A 'fi -f- B' fi' -f- C fi" + . . . .

» où les quantités A', B', C' ... . doivent être exprimées » en*, de mauière qu’en faisant x = a, on ait A' — i , » B' = o, C — o. . . . que de même en faisant x = et! , on » ait A'= o, i , C = o. . . qu’en faisant * = et", on

» ait pareillement A'= o , B' = o , C'= i . . . ainsi de suite • » d’où il est facile de conclure que les valeurs de A', B',C' . . . , » doivent avoir la forme

(* ~ « ) (* — et") (x — «*)

(* — a') (et — a!) (et — et")

(* — * ) O — «") (x — et")

(*'“ *) («' — a") (et' — a) .

(* — *) (* — et') (x — et")

(et" — a) (a"— et') (a"— *'") .

DE ôfolwfcrRIE. 243

» en prenant autant de facteurs dans les numérateurs et n dans les dénominateurs, qu’il y aura de points donnés r> de la courbe moins un. »

y> Cette derniere expression de y, quoique sous une forme n différente de la première, revient cependant au même, » comme on peut s’en assurer par le calcul, en dévelop- « pant les valeurs >, *, ». ... et ordonnant les termes » suivant les quantités fi, ma[s elle est préfé-

” rab,e Par ïa simplicité de l’analyse sur laquelle elle est » fondée, et par sa forme même qui est beaucoup plus com- » mode Pour le calcul. Il suit de là que l’on pourra con- » struire géométriquement tant de termes intermédiaires n que l’on voudra d’une série quelconque composée de plu- » sieurs termes : ce qui est fort utile pour remplir les la- » cuncs qui pourraient se trouver dans des suites d’obser- » vations ou d’expériences , ou dans des tables calculées par » des formules ou des constructions données , » et c’est en quoi consiste la méthode d3 interpolation.

La valeur générale de .y trouvée ci-dessus, en premier lieu, se met sous une autre forme qu’il est utile de connaître, lorsque les valeurs a, a', et". . . sont équidifférentes : c’est ce que nous allons faire voir en peu de mots.

Supposons » — a = h , on aura d’abord , en vertu de l’hypothèse présente,

*'=* + h, «" = a + 2h, *"=* + 3 hfetc; et faisons de plus x =r a -f- h! , on aura ensuite x * = h , x — a — h’ — h , x — a" = h' — 2 h, etc. Maintenant, si pour abréger, l’on pose

B'—fi—Afi, fi" — fif = Afir , /S* — fi" ~ A fi", etc.

Il en résultera, d’après ce qui précède,

FROP 09ITIONS

EnGn, si l’on désigne par la caractéristique A les différences premières des ordonnées, par Aa les différences secondes ou les différences des différences premières de ces mêmes lignes , par A3 les différences troisièmes ou les différences des différences secondes et ainsi de suite, ou trouvera, avec un peu d’attention,

Aa/3

etc.

et par suite

Telle est la formule d’interpolation la plus usitée dans les calculs géodésiques et astronomiques *, elle résulte d’une théorie très importante exposée dans l’Appendice au Traité élémentaire de Calcul différentiel et intégral de M. Lacroix; mais l’on y parvient si directement par la méthode analytique précédente, que nous avons jugé convenable de la rapporter ici , à cause de son utilité.