CHAPITRE PREMIER

De la Poljrédrométrie .

1 10. Lorsque les Géomètres se furent occupés de la recherche des propriétés des figures planes rectilignes, ils ne tardèrent pas à découvrir plusieurs théorèmes remarquables sur les polyèdres; néanmoins, cette partie de la géométrie des solides, dans laquelle on considère les diverses relations qui existent entre les angles dièdres et leurs faces, est encore trop peu avancée pour former une doctrine complète. Je ne m’attacherai donc, comme dans le Ier chapitre de la deuxième section , qu’à faire connaître quelques-uns des théorèmes élégans que l’on doit à MM. Lhuilier et Carnot. Quant aux propositions que l’on a coutume de considérer dans les éléraens, et qui se rapportent à la Polyédrométrie, on en trouvera l’analyse détaillée dans la Géométrie de M. Legendre.

DEMME.

Si l on projette une surface plane sur un autre plan ,par des perpendiculaires à celui-ci , la projection de cette surface 6e ra égalé a son aire multipliée par le cosinus de V angle des deux plans.

Ainsi , soient a l’aire projetée, b sa projection orthogonale, cl * l’angle des deux plaus; on aura

b =z a cos 6, ou b= a cos (a, b), en désignant l’angle dièdre 9 par ( a , b ).

Je ne donnerai point la démonstration de ce lemme, parce qu’elle se trouve dans les ouvrages élémentaires auxquels celui-ci se rattache; mais je tirerai pour conséquence de cette proposition le théorème suivant :

Tidoidus.

lil. 1/aire de l’ une des faces d’un polyèdre quelconque est égale à la somme des aires de toutes les autres faces multipliées par le cosinus de l’angle qu elles forment avec le plan de projection.

Soient a j b tc ,d . les aires des faces d’un polyèdre ;

on aura, en vertu du lemme précédent, et eu prenant successivement chacune de ces faces pour plan de projection ,• b cos (a , b) -f- c cos (a , c) -f- d cos (a , d) .... ■) b = a cos (6, a) -f- c cos (6,c)-t-a?cos (i , d). . . . V. (A) c t=. a cos (c, a) -f- b cos (c , b) -f- d cos (c, d). . . . )

Les angles (a, b), (a, c) . désignant les angles dièdres

intérieurs du polyèdre.

théorème.

i 12. Si Von nomme base d/un polyèdre une quelconque de ses faces j le produit d’une face par le sinus de son inclinaison sur la base j est égal à la somme des produits de chacune des autres faces par le sinus de son inclinaison sur la base j et par le cosinus de l’angle formé par les communes sections du plan de la base avec la première face et avec celle des faces restantes qui est prise comme facteur.

Multipliant successivement les deux membres de Ta

première des équatious (A.) du n° précédent par les coeflicicns de a dans les suivantes, et ajoutant les produits aux membres correspondans de ces dernières, on trouvera pour résultats iiulépendans de la face a,

b sin* (a, b) — c [cos (6 , c) -f cos (a, b) cos (a , c)]

d [cos (6 , d) -f- cos (a , b ) cos (a , c?)] ,

c sin* (a, c) = b [cos (6, c) ■+• cos (a, b ) cos (a, c)J

-f- d [cos (c , d) -+> cos (a,c) cos (a , d)~\ ,

et ainsi de suite.

Maintenant , si l’on désigne par fi cty l’angle formé par les deux communes sections du plan de la base a avec chacune des faces b} c\ et qu’on adopte une dénomination pareille relativement aux autres faces , on aura , à cause de cos(&,c)+cos (a, b) cos (a,c) = sin (a, 6) sin (a,c) cos (£*>) , ( Trigonom. de M. Legendre , art. 8 1 ) ,les équations suivantes :

b sin (a,6)=c sin (a,c) cos (ficty) d sin (aji) cos H etc. ç sin (a/;) = b sin (a, b) cos (fi*ÿ) -J-^sin(a,t/jcos(^af^-f-etc.

ce qu’il fallait prouver.

THÉORÈME

1 13. Dam tout polyèdre le carré de la moitié de sa surface est égal à la somme des produits de toutes les faces multipliées deux à deux j et par le carré du cosinus de leur demi - inclinaison.

Cette propriété se reconnaît d’abord *, car si , après avoir multiplié chacune des équations du n° 1 1 1 par son premier membre , on ajoute ensemble toutes ces équations , et qu aux deux membres de l’équation résultante on ajoute encore le double produit de toutes les faces prises deux à deux , ou

Jk

cos'i («,£), etc.

048 phopositions

, iH-cosfrt,^)

aura , a cause de - — ~ • —

l’équation suivante ,

^ 2 - J = ab cos î(a;0) + «c cos9 à (a, c)

■+■ ad cos9 j (0 , û?) -f- etc . . . . , qui est précisément la traduction analytique de l’énoncé du théorème.

THÉORÈME

114. La somme des carrés de toutes les faces d* un polyèdre , est égale au double de la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deux, et par le cosinus de V angle dièdre qu elles comprennent .

En effet, si l’on multiplie les deux membres des équations (A) du n° iii, respectivement par a , b , c, d. . . ., et qu’on ajoute tous ces produits , on aura, comme le porte l’énoncé du théorème ,

«* + b% -f c* 4" d* -f - = 2 ab cos (a, b) -f- 2 ac cos (a, c)

+ 2 ad cos (a,d) -f- 2 bc cos ( b , c) + etc. -

Ainsi, les polyèdres jouissent, par rapport à leurs faces et aux angles qu’elles forment, de la même propriété que les polygones à l'égard de leurs côtés et des angles qu’ils comprennent (n° 34). Cette remarque s’étend au théorème suivant.

THÉORÈME

1 15. Dans tout polyèdre le carré d’une face est égal à la somme des carrés des autres faces, moins deux fois la somme des produits de toutes ces autres faces multipliées deux à deux, et par le cosinus de l’angle dièdre qu’elles, 'comprennent.

Opérant comme dans te ne 34 , 011 a sur-le* champ

a1= 6*-f"c!i+^î- • . — 2[6ccos (6,c)-f- bdcôs(b,d) -f-- . .']•

Ainsi, pour la pyramide triangulaire qui est, parmi les polyèdres , le corps le plus simple, on a

«a=6“ 4 c%-\-d?—~i[bc cos ( b , c)-f-ôrfcos (6, rf)+crfcos(c^)].

Mais lorsqu’un des angles trièdres est formé de trois angles droits; par exemple, lorsque les faces b,c, d sont des triangles rectangles, les angles dièdres ( b , c) , (6 , d) , (c , d) sont droits , et pour lors l’expression précédente se réduit à

c'est-à-dire, que <üz/zs un tétraèdre rectangle le carré de la face opposée à V angle trirectangle est égal à la somme des carrés des trois autres faces ; propriété analogue à celle du triangle rectangle.

DeGua, dans les Mémoires de V Académie des Sciences, année 1783, avait déjà démontré ce cas particulier; mais M\f. Lhuilier et Carnot sont les premiers qui l’aient généralisé, l’un dans sa Polyédromètrie (. Mémoires présentés « l'Institut par les savans étrangers, tom. I), l’autre dans sa Géométrie de position. On trouvera, dans le premier ouvrage, le développement du procédé à suivre pour déterminer la somme des produits d'un nombre quelconque de masses par les carrés de leurs distances à un point quelconque. C’est encore M. Lhuilier qui a démontré ( Mémoires de Berlin } année 1786) ce théorème, savoir : si d'un point pris dans l'intérieur d'un polyèdre on abaisse des perpendiculaires sur ses faces , et que sur ces perpendiculaires on prenne j depuis ce point, des droites qui soient entre elles comme ces faces, ce point sera le centre commun de gravité de poids égaux placés aux extrémités de ces perpendiculaires.

Ces propositions peuvent être traitées avec assez de simplicité en faisant usage des principes de la PoIyédrométrie.

UnOPOSlTIONS

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