CHAPITRE II

Des équations du point , de la ligne droite et du plan , considérés dans Vespace ; et de quelques propriétés des projections .

1 16. Je n’énoncerai ici, comme dans le chapitre 2 de la IIe section, que la plupart des propositions préliminaires relatives à la ligne droite et au plan, parce qu’elles se trouvent résolues dans X Appendice à V application de V Algèbre à la Géométrie de M. Lacroix. A défaut de cet ouvrage, on peut voir aussi sur cette matière la irc partie de la Géométrie analytique , par MM. Monge et Hachette, ou le Traité analytique des courbes et des surfaces du premier et du second degré , par M. Biot , etc.

Un point est donné dans l’espace par ses distances à trois plans coordonnés, et

x = et, y = i 3, z=y

sont les équations de ce point. Deux d’entre elles appartiennent à sa projection sur un des plans coordonnés} les deux premières , par exemple, déterminent la projection du point sur le plan des xy.

Il est évident que les équations précédentes sont aussi celles de trois plans respectivement parallèles aux plans des y z t xz , xy. Le point proposé est donc le sonupet de l’angle triçdre que les trois premiers plans font cuire eux ;

ccttc conséquence est encore vraie par rapport à des plans coordonnés obliques.

En général, les points de l’espace seront rapportés à des coordonnées positives, à moins que quelque circonstance particulière n’exige le contraire.

11 7. Si deux points ont respectivement pour coordon¬

nées rectangulaires xyz, xyz , leur distance sera exprimée par

V (* — + y )a+ (s — -Ts

ainsi l’équation de la surface de la sphère, rapportée de même à des coordonnées rectangulaires , est

R dénotant le rayon, et *, /3, y étant les coordonnées du centre. 11 est évident que lorsque l’origine des axes est à ce point, on a seulement

telle est l’équation la plus simple de la spbère.

1 18. Une droite est déterminée par les équations de deux plans projetans qui la contiennent} ainsi

x-=az 4- a , y — bz (i

fixent cette droite dans l’espace .

De ces deux équations, il résulte une troisième que l’on obtient en éliminant s, et qui appartient à la troisième projection de la droite sur le plan des xy.

119. Une droite qui passe par un point donné x'y'z , a pour équations

En l’assujettissant à passer par un autre point xy * , ces éq mitions deviennent

a5 1 PROPOSITIONS

et déterminent conséquemment les constantes a, b\ alors on a

»■-* = ^^5 (»—»), y— J' = Zrzz (s — a )•

Deux droites sont parallèles dans l’espace lorsque les intersections de leurs plans projetans avec les plans coordon-* nés sont elles-mcmes parallèles; d’où il suit que si

x — az a., yx= bz-j-fi sont les équations de la première droite , x = az- \-a , y=zbz + fi'

seront celles de la seconde.

120. Deux droites, qui ont pour équations aux coordonnées rectangles

x = az + *, i ^ (x = a'z + *',

y = bz fi , f l y = b'z -f- fi' ,

et qui se coupent dans l’espace, forment un angle V, dont le sinus, le cosinus et la tangente sont respectivement

«in V = V/(a~ a')*+(6— b')'+ {ab'—ab)»

cos V = l + aa' + bb'

tangV= ŸJEEEI [&-&')•+( «A'

i -J- aa -f- bb '

Lorsque cet angle V est droit , on a cos V =: o , et par conséquent

i 4- ad -|- bb' = o.

Si l’une de ces droites , la seconde , par exemple , coïncide avec l’axe des s , dont les équations sont x = o, y = o, on aura a' = o , b' = o ; et en désignant par Z l’angle que la première droite fait avec cct axe, on obtiendra

DK GÉOMÉTRIE.

co s Z =

De même, si Y et X sont les angles que cette droite fait avec les axes desj et des x, on aura

cos Y = — ======, cosX= - — - - =.

y/ i -f- aa -f- b* y ! -J- aa-f- ù»

Il suit de là qu’en ajoutant les carrés de ces trois dernières équations , l’on parviendra à cette relation remarquable ,

cosa X -f- cosa Y cosa Z — i ,

laquelle consiste en ce que la somme des carrés des cosinus des angles qu’une droite fait avec les trois axes rectangles est égale au carré du rayon.

Si par l’origine des coordonnées , considérée comme le centre d’une sphère , on menait deux autres droites respectivement parallèles à celles dont il vient d’être question , les équations de ces droites seraient

x = az , x = a z ,

y r=z bz , y = b' z ;

et si Fon désignait par xyz , x'y'z, les coordonnées des points où ces mêmes droites percent la surface de la sphère, dont nous supposerons le rayon = i , on aurait nécessairement

par suite, enfin ,

cos V = xx' J-yy' -f- zz >

à cause de x * -f- y3 -+• s* = i et de x'* -h y'* ~h s 5 = 1 • 121. Lorsque deux droites sont dans un même plan, on

a nécessairement entre les constantes qui entrent dans leurs équations (n° i 20), la relation

(«'— at) (6' — b ) — (jô'— fi) (a' — a) = o.