L’équation générale du plan est

Ax -f- B y 4“ Gs 4 D — o ; et comme on peut lui donner la forme suivante : s = eue + by + ct

sans lui rien ôter de sa généralité , il s’ensuit que des quatre constantes A , B , C , D , trois seulement sont nécessaires pour, particulariser ce plan. On pourra donc , dans les applications, égaler à l’unité un de ces coefiiciens, ou bien le déterminer par des conditions particulières; le plus souvent on les conserve tous quatre , afin de rendre les calculs plus symétriques.

On obtient les équations des lignes suivant lesquelles un plan rencontre les plans coordonnés , en faisant successivement s = o , ^ = o , jf = o , dans l’équation de ce plan. Ces lignes d’intersection se nomment aussi les traces du plan proposé sur ceux des xy , xz ,yz.

Si un plan est assujetti à passer par trois points x'ÿz i x"y"z"y xmymz” y son équation générale fournira les relations suivantes :

Ax' 4- By + Cz' + D = o ,

Ax" 4- B y" +Cs"+D = o,

Axm 4 By* -f- Cz"4- D = o ; et de là on tire aisément

D = x {y"zm — y" 2") 4 %x*[ym z — y'zm) 4- x“ (y'z" — y'z).

En soustrayant la première des équations précédentes de

l’équation générale Ax -f- By -J-Cz -|- D = o , on a A ( x — x' ) + B (y — y ) + C (z — z')=0.

C’est celle d’un plan passant par un point donné xyz.

Il est remarquable que si t, t' , t 9 sont , sur les plans des xy, xz , y z , les aires des projections du triangle formé par les droites qui joignent deux à deux les points donnés , on aura

<=ïC, B, *"=f A;

et que si V désigne le volume du tétraèdre qui a pour base ce triangle , et dont le sommet est à l’origine des coordonnées, on aura en outre,

c’est ce qui sera démontré au n° 173, en analysant les propriétés de la pyramide triangulaire.

123. Deux plans ou deux surfaces quelconques qui se coupent , ont , à leurs points Ld’intersection , les mêmes coordonnées j d’où il suit que si , de leurs équations qu i ont lieu en même temps, on élimine une des variables, le résultat sera l’équation de la projection de la ligne d’intersection des deux surfaces sur le plan désigué par les deux autres variables.

Deux plans qui sont parallèles ont , sur les plans coordonnés, leurs traces respectivement parallèles : ainsi , lorsque les équations de ces plans sont

Ax -j- By -f- Cz -f- D = o , A'x -f- B 'y -f- C'z -}- Dr = o, on a, pour les conditions du parallélisme,

dont une d’elles est nécessairement comportée par les deux Autres.

124* Une droite est perpendiculaire à un plan lorsque *es projections de cette droite sont perpendiculaires aux

traces tic ce plan-, d’où il suit que si, en supposant les plans coordonnés rectangulaires,

x = az + ei, y=ùz-f-/3 sont les équations de la droite , et

A* -f- By -4-Cz-J- D = o ,

l’équation du plan , on aura , pour les conditions de la perpendicularité ,

par conséquent l’équation du plan deviendra ax -|- by -4“ z -f- , = o.

Pour trouver la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point donné sur un plan connu, soient x' y z' les coordonnées de ce point: les équations de la perpendiculaire seront.

d’un autre côté , la longueur P de cette perpendiculaire aura pour expression

xyz étant considérées comme les coordonnées rectangles de son pied. Mais en substituant pour x — x et y — y leurs valeurs ci-dessus , il viendra

et comme à l’équation du plan on peut donner la forme

A(* — x')4-B(,y— y)+C(z — z')+A*'-f-By +Cz'-bD==o ,

on obtiendra , en éliminant x — x et y — y',

z — z Ax’ -f- B y -f* Cz' -4~ D

t)c là il est aisé de conclure que

p __ ± A^ + By + Çg^P l/AM- B2 ’

le signe supérieur ayant lieu, si l’on veut, pour le cas où la perpendiculaire est au-dessus du plan, et le signe inférieur pour le cas où elle est au-dessous.

1 25. Si les équations de deux plans sont

A* + Bj-fCz + D= o, A'x -f- By C'a 4-D'ro,

et que V désigne l’angle qu’ils forment, on aura, en supposant toujours les plans coordonnés rectangulaires, '

cosV =

AA' -f- BB'4-CC'

V A2 -f- Ba -f- C2 V^A'* B'2 4- C'a

Dans le cas où ces deux plans sont perpendiculaires entre eux, on a cos V =o, et pour lors

AA' 4” BB' 4“ CC' = o.

Lorsque l’un de ces plans est le plan même des xy , dont l’équation est z = o, on a A' = o, B'=o, C'= i et D'=o et partant, pour le cosinus de l’angle p que* l’autre plan fait avec celui-ci,

cos p =

l/ A* 4- Ba -f- C2 ’

On aura de même pour le cosinus de l’angle/ qu’il tait le plan xz ,

avec

cosP = - - , (2)

V/Aa4-B*4-Ca K)

et pour le cosinus de l’angle p" qu’il fait avec le plan yi}

WSP* = — - - (3)

V Aa 4- B3 4- C*

Ces trois dernières équations conduisent à cette relation

cos °p 4- cos y + COS ap" = I , («)

qui est analogue à celle du n° 120.

Si l’on désigne par ?, ?', ?" les inclinaisons du second plan A'*+B>4-C'z + D' = o sur chacun des plans coordonnés xy , xz , yz , il est évident qu a cause des équations (i) (2) (3), celle O) deviendra

cos V — cos p cos q -f- cos p cos q + cos p" cos q . {m )

Enfin, si r,r, r sont les inclinaisons d’un troisième plan B "y -h C" z -j- D" = o sur les mêmes plans coordonnés, il est incontestable que lorsque ces trois nouveaux plans seront perpendiculaires entre eux , on aura les six relations suivantes:

cos*p + cosy + cosy ai,j cos2? + cos2?' -1- cos2?" = I cos9r + cos2r + cos2r" = 1, !

La formule (1) conduit naturellement à celle-ci .

tangp= - q »

smp V 1 — cos 2/> n „• ifl B|sn

puisque*tang p ~ = - ewp ' °r’ “ lC ?

que l’on considère passait par trois points donnés, sa position serait nécessairement déterminée , et 1 on aurait , n° 122,

B = i (*’-*") + *' (*' “ *') + *'(*" “ * et si l’on représentait par R , K', R" les côtés du triangle que forment les lignes qui joignent deux à deux les points donnés, et par k, leurs projections horizontales, on

durait

DE GÉOMÉTBIE.

/■a =r (x" — xv)a + (y" — y*)1,

*'a = (* — x"y 4- (y — yyt

par suite