X-"a(zw — z') (z* — z
D’un autre côté, la projection horizontale du triangle RK'K", étant désignée par t , l’on a (n° 122), 2t = C; partant,
Telle est la tangente tabulaire de l’angle qu’un plan assujetti à passer par trois points; donnés fait avec l’horizon.
126. On peut trouver aisément , d’après ee qui précède , l’angle qu’une droite fait avec un plan. En effet , soient
x = az -j- a , y -=zbz $ les équations de la droite , et
A* 4- By 4-Cz4-D = o
celle du plan ; si par l’origine on conçoit un plan perpendiculaire à la droite , son équation , qui est de la forme
A. x 4- B^ 4- Cz = o, deviendra, à cause de a= ^ »
ax 4- by 4- g — O ;
et l’angle qu’il formera avec le plan donné sera nécessai-
rement le complément de l’angle cherché V ; on aura donc (n° 125)
1 4- a* + y//Aa-|“Ba -f“
11 suit de là que l’équation
aA +6B + C=o
exprimera que la droite et le plan sont parallèles.
Si ce plan passait par la droite , leurs équations auraient nécessairement lieu en même temps, et l’on aurait D = — (Aa + B6 -f- C)z — A* — BS; ainsi l’équation du plan serait
Ax -f- By -f" C z = A et 4 B^ ,
en vertu de la relation précédente.
127. La relation (») trouvée dans le n° 12 5 donne le ^noyen de démontrer ce théorème , savoir : Si une figure plane quelconque est projetée sur trois plans rectangulaires } le carré de Vaire de cette figure sera égal à la somme des carrés des aires de ses trois projections ; car soient S une surface plane , et A , A', A", ses trois projections respectives sur les plans xy , xz , yz, on aura
Aa= Sa cos1 p y A/a == Sacosa p y A"a = Sa cos9 p" , p , p , p" ayant les mêmes significations que ci-dessus*, donc en vertu de la relation citée ,
Sa = Aa 4- A'9 4- A"a. (1)
Désignons maintenant par V l’angle que S forme avec sa projection B , on aura B = S cos V *, et à cause de
A = S cos p, A ' = S cos p'. A" = S cos pj
il est clair que si <*, £,y sont les inclinaisons de B sur ces mêmes plans rectangulaires A , A', A", l’équation (m) qui
2ÔI
DK GÉOMÉTRIE.
«loune la valeur de eos V, se changera en celle-ci:
cos V = cos a cos p -f- cos 0 cos p' -f- cos y cos p", et qu’en multipliant chaque membre par S, on obtiendra B == A cos a. A' cos fi -f- A" cos y.
Si donc S, S', S"... représentent un nombre quelconque d’aires situées dans des plans différens ; que M , M', M" soient s respectivement les sommes des projections de ces aires sur les trois plans coordonnés A, A', A"; que de plus N soit la somme des projections de ces mêmes aires sur un quatrième plan faisant les angles et, 0 , y avec les trois plans primitifs, on aura autant d’équations semblables a la précédente que d’aires projetées , et la somme de ces équations sera
N = M cos a 4- M' cos 0 M" cos y.
De même , si N' est la somme des projections de S , S , S ' . . . sur un plan qui fait les angles et! , P , y avec les plans primitifs, et que N" soit la somme des projections des aires dont il s’agit, relatives à un plan dont les inclinaisons sur les plans primitifs sopt et", fi", y", on aura
N' = M cos u -f- M' cos 0' -f- M" cos y,
N" = M cos et" M' cos -f- M" cos y".
Donc la projection orthogonale d’une suite d’aires quelconque sur un plan est égale à la somme des projections formées j en projetant d'abord toutes ces aires sur trois plans rectangulaires j ensuite enproj étant ces projections sur le plan proposé. , ^
Lorsque les trois nouveaux plans de projection N , N , N sont perpendiculaires entre eux , on a entre cos * , cos fi , cos y. .. les relations (T) du n° 125, et par suite celles (io) et (xx) du n° x3a. Ainsi, élevant au carré les trois xlernières équations ci-dessus , et réduisant leur somme a l’aide des dernières relations citées, on obtient.
2ft* PROPOSITION 8
Du principe général que l’on vient de démontrer il résulte réciproquement que
^ == N COS a. -f- N' COS et -J- N" COS et ", }
M'= N cos/3 -f- N' cos j3' -f N" cos /S", l (3)
M"= N cos y -f- N' cos y + N" cos y", j
puisque les plans N, N', N" sont rectangulaires.
La relation (2) nous apprend que quelle que soit la direction des trois plans rectangulaires de projection qui forment le second système, la somme Na + N,a-f-N"a est toujours constante. 11 est en outre aisé de déduire des équations (1) et (2) cette nouvelle propriété : Si Von projette une suite d aires quelconque S, S' , S" ... . sur deux systèmes de plans coordonnés rectangulaires, liés entre eux comme on voudra, la somme des produits deux à deux des projections prises sur chacun des plans d’un système , est égale à la somme des produits deux à deux des projections prises sur chacun des plans de Vautre système.
Si toutes les aires S, S', S". . . . étaient dans un même plan, et que l’on prît l’un des plans primitifs pour représenter celui-ci , ce qui est permis, l’une des trois quantités
M, M', M" serait égale h S + S' + S" et les deux
autres seraient nulles; d’où il suit que l’équation (2) exprimerait la même propriété que celle (1).
Puisque dans le cas général où les aires S , S S1' ... . sont dans des plans différens, la relation (2) a toujours lieu, il est clair qu’alors
N as |/M9 -f- M'2 4- M"* — N'a — N"2 ;
ainsi, la plus grande valeur que puisse acquérir la projection N , c’est lorsque N'=o, N"= o. La quantité constante) \/ [M -f- M 2 -f- W ' exprime donc la plus grande somme des projections, sur un même plan , des aires que l’on considère dans l’espace.
lie plan qui répond à cette plus grande projection joue
DE OEOMÉTRlE. a^3
un rôle important en Mécanique : voici comment on en détermine la direction.
Les équations N' = o, N"= o , qui caractérisent ce plan, réduisent celles désignées par (3), à
M = N cos a, M' = N cos fi , M" = N co s y , d’où l’on tire sur-le-champ
cos a — qrr = — ■ - — , —
N t/MH- M a+M
: ; cos/3= — -, cos y =
Ainsi , toutes les fois que l’on connaîtra les sommes des projections M , M' , M", sur trois plans rectangulaires choisis arbitrairement , la direction du plan de la plus grande projection se déterminera au moyen des trois angles a, /3 , y ; mais la position absolue de ce plan restera indéterminée , car les projections de chacune des aires S, S', S". . .,et par conséquent la somme de ces projections sont les mêmes sut tous les plans parallèles entre eux.
Si l’on représente par ô l’inclinaison d’un autre plan T sur celui de la plus grande projection, la somme T des projections sur ce nouveau plan sera donnée par l’équation
T = V Ma-f-M'a-f- M"“ X cos 0.
En effet , soient t, t, t" , les inclinaisons du plan T sur les trois plans primitifs; on aura, par ce qui précède,
T = M cos t «+• M' cos t' -f* M" cos t" ; et comme la direction de ces plans primitifs est arbitraire, on peut supposer que l’un d’eux, par exemple celui qui répond à M , coïncide avec le plan de la plus grande projection ; alors t = ô , M =N , M' = o , M" = o, et par conséquent
T = N cos 6.
Dope la valeur de T est la même pour tous les plans qui font le même angle avec celui de la plus grande projection.
il n’est pas de notre sujet d’appliquer à la Mécanique les propriétés géométriques que nous venons de démontrer d’après M. Poisson ; nous observerons seulement que dans un système de corps en mouvement dans l’espace , et soumis à leurs actions réciproques, il existe un plan dont on peut déterminer la position à chaque instant, et qui, ainsi que 1 illustre auteur de la Mécanique céleste l’a reconnu et démontré le premier, jouit de la propriété remarquable d’être toujours parallèle à lui-même -, mais M. Poisson a eu l’heureuse idee de déduire ce beau théorème sur le plan invariable des considérations géométriques précédentes. {J^oy. le n° io de la Correspondance sur ly Ecole Polythecnique.)
128. Il est aisé de se convaincre que les équations de la ligne droite et du plan* ont toujours les mêmes formes, soit qu’elles se rapportent à des coordonnées rectangulaires , soit qu’elles se rapportent à des coordonnées obliques ; mais le3 coetFiciens des variables ont , par rapport au second système, une signification toute differente de celle relative aux coordonnées rectangulaires -, c’est ce que nous avons déjà fait observer au n° 4i- Il importe donc de montrer comment on doit modifier ceux des résultats précédons qui dépendent des angles des coordonnées. Voici , à ce sujet , quelquesunes des formules publiées par M. Français. Nous laisserons cependant au lecteur le plaisir de remplir lui-même les lacunes qui se trouveront à dessein dans nos calculs. Au surplus , la marche à suivre dans cette circonstance est assez clairement indiquée par celle tracée au n° 46, pour qu’il soit inutile d’entrer dans de grands développ emens.
Soient x,y , z, les coordonnées obliques d’un point M de l’espace, et A leur origine (fig. 83). Soit, en outre, AM = p , et faisons
x — af> y = bf , z = cf ;
Les équations de la droite AM seront
Cela posé, si des extrémités de x et y on abaisse des perpendiculaires sur AM , on trouvera que
(«) p=x cos ( f , x) -J -y cos ( p ,y ) -f- 2 cos ( p , z) ;
partant,
(Z») 1 =acos (p,x) + 6 cos (p ,y) + c cos(p,z);
et si de l’extrémité de p on abaisse successivement une perpendiculaire sur chacun des axesdes coordonnées, onarrivera sans peine à ces trois relations ,
!P cos (p,tf) — x -\-y cos (ar,^ ) -+- 2 cos ( a; ,2 ) , p cos (p,y)=y 4-2 cos (y,z) +ACOS (x,y), p cos (p, 2) = z -f- arcos (x, z) -h y cos (y, 2) -,
ou bien à celles-ci :
( cos (p ,x') = a -f- Z> cos (*,.y) + c cos (at,z),
( c ) < c°s(p,<y)=Z»-f- ccos (y, z) +acos ( ,
( cos(p, z) = c -f- a cos [(* , z ) -f- &cos (.y, z).
Multipliant par p tous les termes de l’équation (a) , et sub stituant ensuite pour p cos (p,x),p cos (p,^), pcos (p,z) leurs valeurs (c) , on obtiendra
(e) pa =*' -a+ 2xr cos (x,^)
-f- 2xz. cos (x, z)
-f-ayz cos (y,z),
et par suite
(e ) 1 — aa-|-Z»a-f ca + 2aô cos (x,y)
-f 2ac cos ( x , z )
-f- zbc cos (y , z ).
Tel serait , en Mécanique , le carré de la résultante de trois forces données d’intensité et de direction , et appliquées au même point. On voit bien ce qu’il faudrait faire pour trouver la direction de cette résultante.
Si des équations (e) on tirait les valeurs de x jy ,z, et
PROPOSITION S
qu’on les substituât dans (a), on aurait pour résultat une relation très remarquable entre les six angles que forment deux à deux quatre droites dirigées d’une manière quelconque dans l’espace, et passant ou non par un même point. ( V lyez un Mémoire de Carnot sur la relation entre cinq points dans V espace. )
Maintenant , si l’on représente par ( p , xy ) l’angle que la droite p fait avec le plan des xy , et ainsi de suite, et qu’on ait égard à ce que
a sin (p, yz) sin ( p , xz ) sin(p,xy)
sin(x,^z)’ sin (y, xz)’ ° sin(z,xy)’
les équations (£, c , «') fourniront des relations entre les différens angles du système des coordonnées et de la droite p.
Pour une autre droite AM' = p' , dont les équations seraient
on aurait évidemment entre a'b'c les mêmes relations que celles que nous venons d’obtenir entre abc .
Il résulte de là , et de ce que le carré de la droite qui joint les extrémités de p et p' , est
p* + p'a — 2pp' cos (p,p ')=(* — x'y + (y— /)•’+(* — Z y 4“ a(x— x ) (y— y') cos (x,y)+ 2(x — x) (z — z') cos (x,z) 4- %(y — (2 — z) cos (y, z),
il résulte, disons-nous, que
cos (p> P ) ’=za' cos(p>*) 4-^'cos (p ,iy)-f-c'cos (p, z )
— a cas (p',*) -f-6 cos if', y) -f ccos (p',z)i
expression qui , en vertu des relations ( c ) , se change en celle-ci :
S0*1' 4- ( bc 4- cl) ) cos (x , y ) bb' 4- ( cd 4-ac') cos ( x , z ) cc 4- ( ab' 4-6a') cos (y , z )•
DU G£OMKTAl£. 267
La ligne AM = p mesurant la distance de l’origine des axes à un plan passant par le point M et perpendiculaire à cette ligne, il s’ensuit que la valeur précédente de p, en y faisant cos ( p , x) = A , cos ( p , y ) = B , cos ( p , s ) = C , représentera l’équation de ce plan , c’est-à-dire qu’on aura
Ax -f- By -f- Cz — p ,
et pour lors l’équation (ù) , qui pourra être écrite ainsi ,
A a -f- Bi -j- Ce = i , (fl?)
exprimera la condition à laquelle devront satisfaire les coefficiens a,b ,c, A,B,C, pour que la droite soit perpendiculaire au plan; enfin ,les équations (c') donneront les coefiiciens de ce plan (*).
De ces dernières équations l’on tirerait , par voie d’élimi nation , en ayant égard à la formule fondamentale de la résolution des triangles sphériques, et désignant]»!' (xy , yz) . . . l’angle des plans coordonnés pris deux à deux,
«=sin (jy , a) [A sin (jy , z) — Bsin ( x, z)cos (xs , yz) — C sin ( x ,y ) cos (*y,,yz)] ; Ra,
b = sin ( x , z )[B sin (x ,z) — Csin ( x , y )cos ( xy , xz )
— A sin (.y,z)cos [xz ,yz) ] : Ra,
c = sin (x,.y)[Csin( x,y)— - Asin (^,2) cos (xy — B sin (je, z) cos (xy,xz)] R*,
où l’on a
Ra = 1 cos#(* ,y) — cosa (x , z) — cosa(iy , z )
-f- 2Cos(x ,y) cos (x , z) cos (y , z) ;
par conséquent l’équation ( d ) se change en celle-ci :
f*) Si les axes des coordonnées étaient rectangulaires, on aurait en outre entre les coefiiciens A , B , C cette relation ,
c’est ce qui a <?lc de'monîrd h la fin dn n° rao.
A5 sin2(y, z) -f- B2 sin2(x, z ) + Ca sin#(j»;, y ) \
2A B sin (^, sin z) cos ç xz , yZ^ I
2AC sin (j, z) sin (*, y) cos (xy, yz) J
2BC sin ( a:, z ) sin (a:, y) cos {xy, xz ) J
On verra, au n° 174, une manière plus simple d’obtenir cette relation ; on y trouvera aussi d’autres valeurs de R2, à 1 aide desquelles on pourrait donner d’autres formes aux. équations ci-dessus. Au surplus , ceux qui éprouveront des difficultés pour tirer toutes les conséquences dont la théorie précédente est susceptible, feront bien de consulter le ier paragraphe du n° 9 de la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique ; ils y verront, par exemple, que si A '.r-f-R r y -f- C'z — y r est 1 équation d’un plan perpendiculaire à p' , la valeur ci-
dessus de cos (p , f ) qui prend cette forme symétrique .
a A' -f- bB' 4- cC' , exprime le sinus de l’angle formé par ce plan et la droite p -, et que cette même valeur prise négativement est le cosinus de l’angle des deux plans que l’on considère ici.
Equation de la sphère j et problème concernant une sphère qui en coupe deux autres.
129. L’équation la plus générale d’une sphère du rayon r, rapportée à des coordonnées obliques x , y, z, est d’après le n° précédent (équat. e), et en représentant par ai, 0, y les coordonnées du centre,
(*-*)• + (v-ey + (z-yy
+ 2(x — a) (y — 0) cos {x, y)
+ 2 (x—a) (z — y) cos {x, z)
