y — 0) (z — y) cos(y, z

Si les axes des coordonnées étaient rectangulaires, on aurait simplement

{x — a)a + ( y ~0Y 4- (s — y)2 = r%, et si leur origine était au centre meme de la sphère , on au-

DE GEOMETRIE. 9.6gj

rait plus simplement encore

cela est évident.

Soient maintenant trois sphères c, c', c", rapportées à des coordonnées rectangles, et ayant respectivement pour rayon r , r , r", supposons que la première soit placée d’une manière quelconque dans l’espace, et que y soient les coordonnées de son centre : supposons de plus que l’origine des axes soit le centre de la seconde sphère , et que l’axe des x passe par le centre de la troisième sphère , en sorte que et" soit l’abscisse de ce centre. On aura alors les trois équations suivantes :

(I ) (x-«y + (y -/sy + (* — yr = r» ,

(2) .r1 - \-y ' -h za = r »,

(3) (*-Oa+y + *a = r',a;

et dans l’hypothèse que la première sphère soit coupée par la seconde et par la troisième, les équations des plans des deux courbes d’intersection , s’obtiendront comme au n° 47 » en soustrayant l’une de l’autre, d’abord (1 et 2) , ensuite (1 et 3).

On aura en effet ,

aax -+- 2 fy +2y2 z=z r a — ra +• *a -f & -f- ÿ » , ia"x— 2 Ctx — 2% r2 — r"%- f-*"a — et1 — jSa y2 •

et si l’on ajoute ces deux dernières, il viendra

ou

■y.et'x = /» — -f- et"»

résultat auquel on arriverait encore en supposant que les sphères (2 et 3) se coupent mutuellement.

Il suit de là que les plans des deux courbes d’intersection se rencontrent suivant une droite située dans un plan per-

pendiculaire à la ligne qui joint les centres des sphères coupantes c, c. Ce dernier est le plan radical de ces mêmes sphères , et le point qpi a x pour abscisse en est le centre radical j soit que les sphères se rencontrent , soit qu’elles ne se rencontrent pas.

Deux sphères ont aussi un centre de similitude et une sphère des pôles conjugués (n° 47)* Voyez aussi les Ann. de Math., tom. XI , p. i4*

Concevons maintenant quatre sphères données dans l’espace, de telle manière que leurs équations soient

O — et )a4- {y ~ £ )a+ (z — y Y= ra ou Çx — a')a+ (. y — $ )a+ (s — y Y~ r'*

{s - (y - fi "y+ (* - y") - r"*

(x - dy+ (y - I2y+ (* - y my= rma

et supposons qu’elles se coupent deux à deux ; les équations des plans des cercles d’intersection seront

De ces six équations , trois quelconques se trouvant comportées par les trois autres, il s’ensuit que les plans dont il s’agit se coupent deux à deux suivant des droites qui concourent au même point; et il est remarquable que ces droites sont nécessairement dans les plans radicaux des sphères : propriété qui est une généralisation de celle énoncée au n° 47-

ÜE GEOMETRIE.