CHAPITRE III

Transformation des Coordonnées dans l’espace.

i3o. Le changement le plus simple que l’on puisse faire à un système de coordonnées, est de déplacer l’origine on laissant les nouveaux axes parallèles aux premiers: or, si x',y', z, désignent les coordonnées positives d’un point rapporté au second système, et que a, b, c soient celles de la nouvelle origine , rapportée au système primitif , on aura

x—x' -f- a , y=zy-\-by zz=z'-j-c.

Mais pour embrasser, dans toute sa généralité, le problème de la transformation des axes , prenons pour premier système de coordonnées obliques, x, y, z; et pour second système , t, uy p'y puis cherchons les premières coordonnées en valeurs des dernières , en considérant le unes et les autres comme étant relatives au même point de l’espace et étant rapportées à la même origine.

Pour cet effet, concevons, par exemple, par les extrémités des coordonnées p, u, t, x, des plans parallèles au plan des yz *, ces plans seront au nombre de quatre , et la distance du planez au second sera visiblement p sin ( y^yz ) ; celle du second au troisième , u sin (u , yz) ; celle du troisième au quatrième, t sin ( t , yz) ; enfin, celle du premier au quatrième, x sin (x, yz). Mais cette dernière distance se compose de la somme des trois autres y donc

* sin (x y y z) = t sin ( tyyZ ) -f- u sin (u yyz) ~h * sin (py yz) -

PROPOSITION S

pareillement

y sin (y, xz) = t sin (<, az) -f" u sin {u,xz) -}- v siu (v, xz) ,

Z sin ( Z , xy) = t siu (*, xy ) + u sin {u, xy ) -+- v sin (y, xy ) .

Ces formules, qui sont très simples et très symétriques , s’obtiennent, comme l’on voit, avec la plus grande facilité ; elles servent toutes les fois que l’on connaît les angles que les nouveaux axes font avec les plans coordonnes primitifs. M. Français , qui a résolu le même problème en supposant que les axes des coordonnées xyz , tuv sont rapportés à six plans dont les équations aux axes rectangles sont connues , est parvenu à ces formules par un calcul analytique un peu long, mais d’ailleurs fort élégant. ( Voyez le i4e cahier du Journal de V Ecole Polytechnique ^ pages 182 et suivantes.) M. Hachette a aussi démontré les formules de M. Français, par des considérations déduites de la théorie des projections. ( Voyez la Correspondance J Ier numéro du 2e volume.)

i3i. Si les axes primitifs seulement étaient rectangulaires , on aurait sin (z, *y)=i,. . .-, sin (*, *y)=cos(*, z)-,. . , et les formules dont il s’agit se réduiraient à

x — t cos (t, *) 4 - u cos (u> x) + v cos

y = t cos [t,y) -f a cos (u, y) v cos y),

z = t cos (*, z) -f- u cos (u, z) + v cos O, z).

Ces formules particulières étant les plus usitées, nous allons les retrouver par une méthode qui nous fera connaître en même temps les relations qui existent entre les coefficiens de f, m, v.

Supposons donc qu’il s’agisse de passer d’un système dtf coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques, de manière que les axes AX, AY, AZ [lig. 83], forment le premier système, et que AT, AU, AY composent le second.

Construisons sur ces derniers axes un parallélépipède AM, et désignons par

x'yz , x”y"z" , xmy"z" ,

les coordonnées rectangulaires des points M', M", M®,

comptées de l’origine A;

Par c,c*, c®, les côtés du triangle M'M"JVT respectivement opposés aux angles M' , M" , M®;

Par y', y", y® , lesangles plans M® AM", M® AM', M" AM' opposés aux côtés c , c" , c® j

Enfin, par ty u, v, les arêtes ou coordonnées obliques AM', AM", AM®; on aura évidemment

x"* + y"* + s®a = Va, )

{*" - *"Y 4- (y" ~ y"Y -I- (** - zmy = c'2, -j

D’un autre côté, en vertu de la propriété du triangle

obliquangle, les trois triangles M® AM" , M® AM' , M" AM' , donneront respectivement

Ma -J- v2 — 2 uv cos y = c'2 , -j t* v* — itv cos y" = c*a, l (3)

** -h u* — cos y® = c®2. J Par conséquent, si l’on développe les premiers membres des équations (2), et que l’on substitue pour c'a c"a c®4 leurs valeurs précédentes , on aura , réductions faites ,

x"x° 4“ y"ym -f- a" z® = cos y' , 1

*'*■ -H yy' 4- Z zm = ^ COS y", [ (4)

y 4* yy 4" z'zn =’ cos y. J

Maintenant, considérons le point M comme étant situé d’une manière quelconque dans l’espace, et représentons par x, y, s ses coordonnées rectangles A p , pm > ; il est

clair, alors, que l’on aura

xz=x +x" +xm , y=y'+y"+ym> *=*' +*+*"■, si donc X, Y, Z; X', Y', Z'; X", Y", Z", sont les angles que les arêtes t, u, v font avec les trois axes primitifs AX, AY, AZ,on aura évidemment

*' = t cos X , / = t cos Y , z — t cos Z , }

*" = u cos X', /' = wcos Y', z= u cos Z', V (5)

v cos X", y"— v cos Y", 2'°= v cos Z"; )

de là,

a: = f cos X 4 m cos' X' 4 cos X", | y — t cos Y 4 u cos Y' 4 v cos Y', > (^)

z — t cos Z -}- w cos Z' 4 v cos Z" , J et il s’ensuivra que les équations (4) se changeront en celles-ci ,

cos X' cos X"4 cos Y' cos Y" 4 cos Z' cos Z" = cos y, J cos X cos X"+ cos Y cos Y"4 cos Z cos Z" = cos y", > (7) cos X cosX'4 cos Y cos Y' + cos Z cos Z' = cos y". 1

D’un autre côté, si l’on ajoute ensemble les carrés des valeurs de/,/ ,s',de/,yV", etde x\y\ 2'", fournies par les équations (5), on trouvera de la manière la plus simple les relations connues

cos1 X + cos1 Y -|- cos1 Z = 1, |

' cos1 X' 4 cos1 Y' 4- cos1 Z' = 1, | (S)

cos1 X"4- cos1 Y" + cos1 Z"=1 1. J Celles-ci et les précédentes renferment toutes les conditions relatives aux nouveaux axes obliques.

On peut déduire de là l’expression du carré de la diagonale AM du parallélépipède-, car soit D cette diagonale on a

puis faisant usage des valeurs (6), et réduisant au moyen

DE oiOMÉTRIE. 2^â

des relations (7) et (8) , il viendra

Da = f1 + m* 4- v' 4~ 2 tu cos y" + ztv cos y" 4” 2uv cos y'; c’est-à-dire que le carré de la diagonale d’un parallélépipède est égal à la somme des carrés des arêtes d’un meme angle trièdre plus à la somme faite du double des produite , de ces arêtes prises deux à deuxj multipliés par le cosinus de l’angle que ces mêmes arêtes forment entre elles.

1 32. Si l’on voulait seulement passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de même nature , il suffirait de faire dans les résultats ci-dessus y/=y" = y®= ioo?r; or, en vertu de cette hypothèse , et désignant d’ailleurs pour abréger , co s X , cos Y , cos Z par m, n, p, les [équations (6) , (7) et (8) deviennent respectivement

x = mt + mu + m"v , )

y = nt -f- + n'V, > (6')

z = pt -f pu + p"v, )

m mn-\- n n" p' p"z=. o, j ma -f- na = 1, 1

mm! -f- nn 4- pp' = o, J »i"a4~ n"11-^- p "a — ? • J

ainsi , des neuf constantes qui entrent dans les formules (6')‘ trois seulement sont indépendantes (*).

On pourrait demander maintenant de déterminer t, uf a, en fonction de x, y, dans ce cas, au lieu de suivre

(*) Quelques auteurs conservent, dans leurs calculs, les dénominations de cos, sin , etc.; mais cela est inutile, surtout toutes les fois que , dans le cours d’une longue operation, les valeurs trigonométriques ne doivent e'prouver aucune espèce de transformation. D’ailleurs, en représentant chacune de ces valeurs par une seule lettre , comme les autres quantirés, les calculs s’effectuent bien plus rapidement. On a dû voir déjà que je me suis conforme' à cette observation , lorsque je n’ai pas *u en vue de faire remarquer que telle formule était identique avec celle publiée par d’autres auteurs, ou était précisément la traduction analytique de l’énonce' d’an théorème.

PHOÏOSITIOK*

la Toie ordinaire de la résolution des équations du premier degré, il est plus élégant de procéder ainsi qu’il suit.

Si on multiplie respectivement par m, n,p, les valeurs de x, y , z données par les équations (6'), et qu’on ajoute les trois produits entre eux , on aura , à cause des relations (7') et (8'),

t = mx + ny -f- pz.

Répétant la même opération deux autres fois de suite , en choisissant d’abord pour nouveaux multiplicateurs m , ri ,p , puis m", n , p " , les trois résultats réunis seront t = mx -f- ny -4 -pz, \ u = mx -f- ny + pz , \ (9)

et parce que, dans l’hypothèse actuelle, le carré de la distance AM est

on trouvera , après avoir substitué dans cette équation identique, pour t j u,v leurs valeurs précédentes, et comparé les termes homologues , ces nouvelles relations, mn +m'n' + m-n" = o , •) + 1 , ï

mp -J- mp 4- m”P — °> [ (I0) n* 4- ” 1 4“ = 1 » [ 0 * )

np 4- np 4- n"p" = o , ) />a 4“ />'“ + P"* = 1 i '

concluons de là que si l’on avait les équations

fla' 4“ bb' 4 -ce = o , cul" 4 b b" 4~ ce = o , a a 4" b' b" 4 ce" =0;

on en déduirait celles-ci :

ab R*"