IF

ac 1 a'c' 1 ac<'

a* 4 “b* 4“ c* = R* , a,4-4'“4-c/# = R'“, a"a 4. bn* 4- c"% = R"* ;

bc . b'c b"c" c* c* , c^1 i

Ra + R/a + j^T — Ri"*" Rr»"h Rff‘ — ’

puisqu’ alors on aurait

Ces résultats nous seront utiles par la suite.

i33. Lagrange, qui a traité ce sujet dans sa Mécanique analytique parvient à d’autres relations très remarquables, de la manière suivante. Les expressions (6') étant considérées comme des équations linéaires en u, v, elles fourniront, en faisant pour abréger,

mrip" — m np" -f- m"np — mn"p -f- mri'p — m'rip — l , ces trois valeurs

( np" — p n)x -+- ( n p — np" )y -f- ( np —pn)z

(mnp — p"m)x -f (mp" — pm")y (mp — pm)z

( mn"—rim")x -f (m"n — n"m)y -f- ( mri — nm)z

lesquelles doivent être identiques à celles (9).

Ainsi , en égalant entre eux les coefficiens correspondaus des coordonnées x,y ,z, on aura ces nouvelles relations ,

np" — p n" = lm , n" p — p"n — Im , np — Pn' — }

ni p — pm ~ ln , mp" — pm" ■=. In , mp — * pm — ln " , ni n" — n m" — lp , m"n — n m = lp , mn — nm = lp" ; et en ajoutant les carrés des trois équations qui se trouvent

sur la même ligne horizontale, sur la ire par exemple, il viendra, à cause des équations (11), cette autre relation,

( n'P ' — Pn"Y + ( n"p — p"n)% 4 (np — pu y = l2.

Mais le premier membre revient à (na + ri2 -f- ri'2) (/r +p2 + p"2) — («/> + n'p' + n"p" )*,

et se réduit à l’unité, en vertu des équations ( 10 et 1 1 ) : ou a donc 1 = l2 et l = ± 1 .

Toutefois , la valeur de L est positive , et ce qui le prouve , c’est qu’en faisant coïncider les nouvelles coordonnées t, avec les primitives x , y, z , c’est-à-dire en posant t = x , u -— y } v — z, on a m = 1 , ri = 1 , p" = 1 , les autres coefficiens deviennent nuis, et la valeur ci-dessus de l se réduit à -h 1 .

Au surplus , cette dernière relation

( np ' — pri y 4- ( np" — pu" )* — {- ( n'p” — P ri')2 = 1 , et les deux autres semblables , se déduisent sur le champ de considérations géométriques , et sont une conséquence toute naturelle de ce qui a été démontré aux n0# ia5 et i3a ; car il existe entre les cosinus des angles que trois plans rectangulaires font avec les plans coordonnés aussi rectangulaires , les mêmes relations qu’entre les cosinus des angles que trois droites perpendiculaires entre elles font avec trois autres axes rectangles : c’est-à-dire que si «, fi, y ; ri , fi' ,

» y" sont les angles que les plans des tu , tv , uv, font respectivement avec ceux des xy, xz ,yz, on a par ce qui précède ,

COSa « 4 cos* fi 4 COS1 y =r i? j cos* ri -f- cos* ri -f- COS* y = I , t cos* ri' -f- cos* ri1 -f- cos* y" ~ 1 , J

COS* a -f- COS* ri -f- cos* «"=1,1 cos* fi -f- cos* fi' 4- COS* jSa = I i cos* y -f- cos* y 4* cos* y" = 1 . J

Mais d’après le n° 57 ,

tu cos y — y' z" — z'y , tv cos y = z y* — y z" , uv cos y" ~ y" zm — z y* .

Substituant dans ces équations , pour y' , z* , . . leurs

valeurs (5) , il viendra

cos y = np — pri , cos y = np — r p"n , cos y" = np" — pn".

Donc, etc.

Enfin, l’on a fait observer au n° 122 que le volume du tétraèdre trirectangle , dont les arêtes du sommet sont t , u , v ■, a pour expression

g *' Cy"z" —.y"2" ) 4- g *" (y*2' — Z2* )

et l’on reconnaît tout d’abord que cette expression prend , en vertu des valeurs (5) , la forme suivante :

mrip" — m np" H*- nî'np — mn"pr -f- rri n"p — m np = 1 . Voilà donc un moyen très simple d’obtenir ces relations.

Les trois plans coordonnés primitifs xy , xz ,yz , étant rapportés au second système d’axes tyuy v , leurs équations seront respectivement

A t -f- B u -}■ O zxz o ,

A ’t -f- B ’u + CV — o ,

puisque l’on ne change point d’origine. Si donc x,y, * sont les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’espace , coordonnées qui représentent les perpendiculaires abaissées de ce point sur les plans des^z, xz , xy , on aura , d’après le numéro 124 ,

A,f -j- B' u -f* CV l/À'2 -f- B'2 + C'a ’

A£ -f- Ifo + Ct'

Des neuf constantes arbitraires ABC , A' B' C' , A"B"C*, trois sont superflues , puisque chacun des plans , passant déjà par un point donné , il suffit de deux constantes pour achever de déterminer sa situation j ainsi , l’on pourrait égaler à l’unité une des constantes de chaque plan : mais afin de ne pas détruire la symétrie des formules , soit fait

Aa 4- B2. + C* = i ,

et joignons à ces relations , ces trois autres qui expriment que les plans coordonnés sont perpendiculaires entre eux , savoir :

AA' *4 BB' 4 CC = o ,

AA" + BB" 4- CC" = o ,

de cette manière, il ne restera que trois coefficiens dont on sera libre de disposer pour satisfaire à certaines conditions , et déterminer convenablement la situation des nouveaux plans coordonnés par rapport aux anciens.

On interprétera géométriquement les coefficiens de t, u,v} dans les valeurs précédentes de x, y , z, en comparant ces valeurs avec celles (6) du n° i3i.

1 34- Si l’on prenait l’axe des t dans le plan même des xy, et que l’on supposât toujours les deux autres axes perpendiculaires entre eux et à celui-ci , il est clair que l’on aurait Z = i oo * r- En désignant alors X par et Z"

par 6, on aurait Y = ioo*r- — ç et Z' = ioo^r* — 0; partant les formules (6') deviendraient , en y faisant d’ailleurs v = o , pour ne considérer que les points situés dans le plan tu ,

x = t cos <f> -f- u cos X' , | y = t sin <p + « cos Y', > (6")

z =wsin 0. J

Dans la même hypothèse , la troisième des équations (7') se réduirait à

cos <p cos X' -f- sin ç cos Y' = o, et la seconde des équations (8') , à

cos1 X' -J- cos1 Y' = cos* 0.

De ces deux dernières on tire aisément les valeurs suivantes :

cos X' = sin 6 cos 6 , et cos Y' = — cos <p cos 0.

Les valeurs précédentes de x,y , z sont donc

x = t cos q> -f- u sin ç cos 0 , y = t sin <p — u cos Q cos 0 , g = u sin 6.

Telles sont les formules propres à donner l’équation aux axes rectangles de la courbe d’intersection d’une surface courbe quelconque et d’un plan. On remarquera dans ces formules, que <p est l’angle que la trace AR [fig. 84] du plan sécant TAU fait avec l’axe des * ; et que 0 est l’inclinaison de ce plan sur celui des xy.

i35. Au lieu de prendre la ligne AR [ fig. 85 ] pour l’axe des t , considérons-la , pour plus de généralité , comme la trace du plan des tu sur celui des xy \ regardons la droite AT comme l’axe des t , et nommons l’angle TAR. Dans cette circonstance, l’angle 0 sera encore celui des tu avec le plan xy ; mais l’angle <p désignera celui que la trace AR. fait avec l’axe des x.

Maintenant , pour exprimer les valeurs de cos X , cos Y , cos Z , etc. , en fonction des angles <p , 4 6 , nous aurons recours à la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique , parce qu’elle conduit au but de la manière la plus simple et la plus directe. Pour cet effet , concevons une sphère du rayon AT = 1 , et ayant son centre au point A; puis imaginons des arcs de grands cercles TQ , TR , QHS , TS ; alors les cotés TR, TQ, RQ du triangle sphérique TRQ seront respectivement 4/ , X , <p ; et l’angle sphérique R sera = $ : de sorte que l’cn aura sur-le-champ par le principe du n° 76 de la Trigonométrie de M. Legendre , ou du n° 47 de la Trigonométrie de M. Lacroix ,

cos X = cos 4* COS P 4* s*n 4' s*n P cos

Le triangle sphérique STR dans lequel ST = Y , TR =4' , SR = ioo«r- — <p , et l’angle R = 200 <*r- — 6 donnera de même

cos Y = sin <p cos 4^ — cos p sin 4' cos 9.

Ensuite , si par l’axe des z et celui des t on fait passer un arc de grand cercle ZTP = ioo«r- , le triangle sphérique PRT sera rectangle en P et fournira cette relation , cos Z = sin 6 sin 4/-

Soit AU [fig. 86] l’axe des u perpendiculaire à celui des t ; les deux triangles sphériques URQ , URS dans lesquels UQ =X',UR=ioosr--}-4'>US=Y',RS=ioo8r <p, donneront aussi, en vertu du principe cité ,

cos X' =r cos B cos 4> sin <p — sin 4 cos <p , cos Y' = — cos 41 cos <p cos â — sin 4/ sin <p }

et si par les axes z,u, on conçoit un arc de grand cercle ZUL = 1 00 «r* , le triangle sphérique rectangle URL donnera

cos Z' = cos 4 sin d.

Soit en outre AV [fig- 87] l’axe des 0 perpendiculaire

DE C.ÉOMÉTRIE. 283

au plan tu ) si l’on imagine les arcs de grands cercles VNQ , TRK, VSK , les deux triangles sphériques NQR , KSR seront visiblement rectangles, l’un en N, l’autre en K, et donneront

— cos X" = sin Ç sin 9j cos Y"= cos ç> sin fl.

Enfin , il est assez évident que l’on aura

Z" = fl , ou cos Z" = cos 9.

Concluons de là que les formules (6) et (9) n° 1 3 1 , deviendront respectivement

x = t ( cos fl sin <p sin 4' -f- cos p cos 4/ )

+ m(cos9 sin f cos 4' — cos 0 sin 4')

— v sin 9 sin ç ,

y — t (sin <p cos 4/ — cos fl cos ç sin 40

— u(cos ô cos <p cosip -f" sin <p sin 40 -J- v sin ô cos p ,

z — £sin 9 sin 4/ -f- u sin 9 cos 4' -h cos ® j et

C=x( cos 9 sin ç sin 4^ -f- cos ç cos 4' )

-\-y (sin <f> cos 4- — cos 9 cos ? sin 4/ )

-f- z sin 9 sin 4/»

u =x ( cos 9 sin <p cos 4^ — cos p sin 4^ )

— y ( cos 9 cos <p cos 4/ + sin Q sin 41 )

-+-z sin 9 cos 4/,

v — — * sin 9 sin q> -f- y sin fl cos <p -t- 2 cos fl.

Ce sont ces formules , employées pour la première fois par Euler, que Lagrange a données dans sa Mécanique analytique, tom.II, page 220 , et que M. Laplace a publiées aussi dans sa Mécanique céleste, tom. I , pag. 5g. Nous observerons cependant qu’afin de faire coïncider les résultats précédens avec ceux que M. Laplace a obtenus par la méthode des transformations successives, il faudrait ici changer 4- en <p , faire sin 9 négatif, et prendre la valeur de y en moins. Ces changemens de signes résultent seulement de la dispo-

sition des axes. Si dans nos formules on faisait =: o, et v = o , on retomberait sur celles (6") du n° 1 34; cela est de toute évidence.

i36. Ces formules générales, quoiqu’assez compliquées , sont cependant très utiles en Mécanique : elles ont cet avantage qu’elles ne dépendent que de trois arbitraires , tandis qu’il en entre neuf dans celles du n° 1 32. On pourrait à la vérité , comme l’a fait Monge , introduire dans ces dernières , des fonctions de trois arbitraires qui tinssent lieu des six autres qu’on voudrait faire disparaître ; mais il en résulterait nécessairement des expressions radicales peu commodes dans les applications (*).

En réduisant à cinq le nombre de ces arbitraires > M. Gergonne est parvenu, par l'analyse algébrique , à de nouvelles formules rationnelles et symétriques applicables à la transformation d’un système de coordonnées rectangles à un autre système également rectangle (**)• Celles-ci dérivent de cette considération , qu’un changement quelconque de situation d’un angle trièdre dans l’espace , autour de son sommet, peut ctre opéré par un mouvement unique de rotation autour d’un axe fixe. On les obtient très directement à l’aide du seul principe de Trigonométrie sphérique déjà employé ci-dessus.

Soient x, y , z £ iig. ioi] , les coordonnées rectangulaires primitives, et t, u, \> trois autres coordonnées rectangulaires de même origine A. Soit en outre r l’axe fixe A / autour duquel on suppose que tourne le système primitil pour prendre la position t, u, v. Dans cette hypothèse , les angles sphériques trx, ury , vrz seront égaux et seront chacun la mesure de cette rotation. Désignons l’un de ces angles par 6 , et faisons comme au n° 1 3 1 ,

(*) y oyez le Traité de Cale, différ, et de Cale, intégr. , par M. Lacroix, a« edit., tomel, page 533.

(*♦) Annales de Malhém. , tome VII, page $7.

DK GÉOMÉTRIE.

angle (t, x) = X, angle (*, y) = Y, angle (t, z) = Z , angle (m, a;) = X', etc.

angle ( v , a:) = X", etc.

Faisons de plus, pour abréger ,

cos (r, x) = a , cos (rJ<y) = 6, cos (r , z) = c , sin (r, *) = <*, sinCr,^)^, sin(r,z) = y, cos 6 = A , sin ô = ft j

nous aurons ces deux relations

rt* 4“ 4” == 1 y (A)

Cela posé , le triangle sphérique trx donne , à cause que angle (r , x) = angle (r, t) ,

cos (t, ar) = «4 4- cos 0 ; mais et4 = i — «* , donc

cos ( t , x ) = a4 (i — cos fl) -f- cos 0.

Le triangle sphérique tyr donne de même , à cause que l’angle dièdre (tr> ry) = (rx, ry — fl ) ,

cos ( t,y ) = ab -f- *$ cos (r.r, ry — «)

= ab 4* a/3 cos ( ra;, ry) cos fl sin ( rx , ry) sin ô ;

et comme le côté ary du triangle sphérique xyr est d’un quadrant , on a

o = ab 4- a(i cos (rx , ry) ,

d’oii l’on tire

etfi cos (ra;, /y) = — ab , ct(3 sin (ra:, /y) = V

ainsi

cos (*,^) = ab ( î — cos ô) c sin ô.

Pareillement le triangle sphérique tzr donne

cos (£ , z) = OC-+- ety cos (rx , rz — 0 ) ; et comme le triangle sphérique xrz dont le côté xz est égal au quadrant , fournit cette relation

o = ac -f- ety cos ( rx , rz) , on a de même que ci-dessus

cos {t , 2) = ac (1 — cos Q)±.b sin 0.

Pour lever l’ambiguité des signes, considérons ces formules dans un cas particulier. Par exemple, supposons angle ( t , x) — angle (t} y) = angle (*,2); alors l’axe de rotation r sera placé symétriquement par rapport aux axes des coordonnées xyz, et il n’y a pas de doute que quand on fera , par un tiers de rotation complète , coïncider l’axe des t avec celui dcsj', on aura

angle ( t , x) = iQ, angle (t,y) = o, angle (t, z) = iQ , ou

cos X = o , cos Y = 1, cos Z = o ,

et 0 = 3 de circonférence.

Ainsi, dans la même circonstance, de l’équation (A) l’on tirera

et l’on aura

cos 0 = x = — 5, 1 — a = t,

sin 0 = fi = i [/3y

ab =n ac = ± , cp = bp = { , ab (1 — a) = ac (1 — A) = î -7

ce qui donne

cos (t,y) = cos Y = i ± i = 1 , cos (f, z) = cos Z= i dr a = o,

et prouve que pour cos Y , il faut prendre le signe supérieur , tandis que pour cos Z il faut prendre le signe inférieur.

On a donc définitivement ,

cos X = «* (i — a) -f A,

cos Y = ab (i — A) -f- cfCy

cos Z = ac (i — A) — bp..

Pareillement

cos X' = ù9 (i — a) -1- a , cos X" = c9 (i — a) -f- A,

cos Y' = bc (i — A) + a(i, cos Y" = ca ( i — a) -j-bp,

cos Z' = ab (i — A) — cfA, cos Z" = bc (i — a) — ap.

Telles sont les valeurs à substituer dans les formules (6')

pour obtenir celles de M. Gcrgoune, dans lesquelles des cinq arbitraires a, b, c , A, p. qui sont liées entre elles par les deux relations (A , B) , les trois premières fixent la position de l’axe r de rotation à l’égard des axes primitifs x,yfz,et les deux autres déterminent la quantité de cette rotation.

Si l’on voulait passer du second système (t ,u,v) au système primitif (x, y, a), il faudrait faire usage des formules (9) -} et la seule différence qui existerait entre celles-ci et les trois précédentes , c’est que (*. aurait changé de signe. Cela tient à ce que dans la première transformation l’angle 6 est considéré comme positif, et que dans la second transformation il doit être pris négativement.

137. Lorsqu’une droite R passe par l’origine des axes, et que xyz sont les coordonnées d’un de ses points, l’on a x — R cos X , <y = RcosY, z = R cos Z; or des trois angles X, Y, Z, deux seulement sont indépendans, puisque l’on a la relation

cos9 X -f- cos9 Y -f- cos9 Z = 1 .

Dans ces dernières formules , la droite R se nomme le rayon vecteur de ce point, et l’origine A est le pôle d’où partent les rayons vecteurs des divers points de l’espace.

Lorsqu’on projette le rayon vecteur sur l’un des plans coordonnés, sur le plan des xy , par exemple, la position de ce rayon est donnée par l’angle qu’il fait avec sa projection et par l’angle que sa projection fait avec l’axe des x. Soient en effet fl le premier angle MAM' Qfig. 86] , et le second PAM', et faisons de plus AM=R, AM' = r; on aura

r = R cos 0;

mais

x = r cos <p , y = r sin tp , z — R sin ô ,

puisque AP, PM', MM' sont les coordonnées rectangulaires du point M -, donc

x = R cos 9 cos <p, y = R cosfl sin<p, z=Rsinfl.

On tire delà, pour les valeurs des tangentes trigonométriques que les projections verticales du rayon vecteur R font avec l’axe des z ,

cos ô cos <p sin 6

cos 6 sin < sin (

Si les axes des coordonnées étaient obliques entre eux , il est visible que les valeurs de r, x,y, z auraient généralement la forme

r = R/>, x == rm , y=rn , z = B.qy p,m}n,q} représentant alors des rapports de sinus d’angles; et de là, on tirerait, comme ci-dessus,

x pm y Pn

* = R pm, y = Rpn, - — — , q'

De sorte que si une droite , passant par un point donné x',y/, z , était rapportée à ces mêmes axes obliques, ses équations, qui seraient

X — x =a(z — z'), y — y =b(z— z'), se changeraient en celles-ci,

Cette remarque trouvera son application par la suite.

bE GÉOMÉTRIE.