CHAPITRE IV

Discussion abrégée des Surfaces du second ordre.

1 38. L’équation générale du second [degré entré les trois variables x,y , z, est

Aza-f- Bya-4- Cx*-}- D zy -f- Ex z -f- Fyx 1 .

+ Gz + Ey +K*+L /— °' (a>

Elle représente une surface , à moins que quelque valeur particulière des coefficicns constans ne rende toujours imaginaire l’une de ces variables. En la résolvant par rapport à z on parvient à un résultat de cette forme

__L% + E; + G)±^puisqu’en faisant

Da — 4AB = a, a(DE — 2AF) = è, Ea — 4AC=c,

2(DG — aAH) = rf, a(EG — 2AK) = «, G* — 4AL= /, on a

V/M= ]/l ay' -f bxy -f cxa + dy + ex+ f).

Il résulte de là qu’en laissant de côté la quantité radicale, l’équation restante

2A2 -1- D y Ex-f- G = o,

est celle d’un plan diamétral jouissant par rapport aux surfaces du second ordre de la même propriété que les diamètres à l’égard des courbes planes de cet ordre.

Un changement convenable des coordonnées, en simpli

2ç0 pkoposItious

liant l’équation ( a) , la rend susceptible d’être discutée avec facilité. D’abord si l’on fait

nie étant les coordonnées de la nouvelle origine, on obtiendra une équation de même forme que la précédente, c’est-à-dire ,

Az/ft+ B/*+ C*'a4- DzV + E*V -f Fy V l __ 0 . (£)

et posant G/==o;ir = 0, K' = o, (c)

les termes affectés des premières puissances des variables disparaîtront. Ces dernières équations étant linéaires en abc, comme le prouve le résultat de la substitution indiquée, on eu déduit nécessairement des valeurs reelles pour ces quantités ; ainsi l’équation (6) se réduit «

Az'M- B/ 3 4- C*/a4- DzV 4- E*V l — C; (<*)