Fy *'4- L' J
ceüe-ci restant la même, en y supposant les coordonnées J J J négatives, il est aisé de conclure que toute droite, menée par l’origine et interceptée par la surface, sera divisée en deux parties égales à cette origine : ce point sera donc le centre de la surface.
Il pourrait arriver cependant que certaines valeurs particulières des coefficiens qui entrent dans les équations (c), rendissent infinies les valeurs de a , b, c; dans ce cas , le centre de la surface courbe serait inGniment éloigne c l’origine des coordonnées, comme l’est celui de la parabo c parmi les courbes du second ordre.
Pour donner maintenant une nouvelle direction aux axes des x', y, y supposés rectangulaires , on fera dans 1 équa tion {d),
x ~ mx 4~ my 4" m 2 f
y nx” 4“ n y* 4“ ri' z , z = px” 4- p y” 4- /*"■>
Ce qui procurera une équation de la forme
et l’on aura en vertu du n° 116 les trois relations
wi* 4 na 4- />* = 1 ,
m*+ rc"a4 p">z = 1.
Des neuf constantes qui entrent dans (ûT) par suite de cette substitution , et qui sont assujetties aux seules conditions (1), six seront arbitraires et rendront la transformation dont il s’agit susceptible d’être effectuée d’une infinité de maniérés; mais en conservant les nouveaux .axes perpendiculaires entre eux, on aura de plus les trois relations suivantes (n°i32),
mm -j- nn 4 pp' = o , mm" -j- nn" pp " = o , mm -f- n'n" 4 pfp" o; d’où l’on voit qu’il ne restera plus que trois constantes dont on pourra disposer pour chasser de (a?') les rectangles des coordonnées, et par conséquent pour rendre le problème déterminé. Posant donc
et formant réellement le développement de ces derniers coefficiens, ce qui sera fort aisé, à cause de la symétrie des calculs, on aura
2 A pp' 4 B(pn' -f- np' )
-f- 2 B nn -f- -f- mp )
-f- 2 C mm! + F(rc/ra 4 mn ) = o,
a A pp" 4 D( pn" 4 np" )
-f- 2 B nn" 4 TL(pm" 4 mpn )
4 2 Cmm" 4 F (jim" 4 mn" ) = o,
2 Ap'p" 4 J)(p'n0 4 n'p")
42 Bn'n" 4 E(p'm" 4 m'p")
4 2 Onm"-j- F (ri m" 4 m'n) = o.
Au lieu de combiner à la manière ordinaire les equat.otis CO (O (3) , pour déterminer les valeurs des neuf constantes d’où dépend la position des nouveaux axes x ,y , a > 1 est plus simple et plus élégant de procéder ainsi qu’il suit.
F Soient * = *z, y = P* les équations delaxe des * ; cet axe fera avec chacun des axes primitifs , des angles X, Y , L dont les cosinus seront (n° 120)
cosX =
= TH, cos Y =
cosZ 1
ainsi on aura
m — atp , n — Pp-
Pareillement x=Jz,y=t‘ «ant les équations del'ase des y" , et * = *"z , y = /3"z celles de l’axe des * , on aura
rri — a! p , » = @ P>
Substituant ces valeurs dans (3), ces relations prendront cette forme :
(2C* +F/3 +E)*'-K2^ +1* -fD)/3'+E* -f-D/S +2A=o, ^ r 2C « 4-F/S -l-E)dfc"-h(2B/8 +Fa +D)/3"+Ea 4-D/ô +2 A— O, > ( (■zCct +F p" -l-E) » -f (aByS" 4- F a"+D)/3' -J-Ea" +D/3" + 2 A— o. )
Si l’on élimine a et /S' entre la ir* de ces équations et celles x — *z, y ■=&* àe l’axe des y" , on obtiendra
(2Cct+FH-E>+(2B|S4-F«+D)y+(E«4-D^4-2A)a=o.(4)
C’est , comme l’on -voit , l’équation d’un plan passant par l’origine des coordonnées, et dans lequel doit être pris l’axe des y" pour que la transformée ( d ') soit débarrassée du terme en *'/• Or l'élimination de «" et Ü' entre la deuxième équation (3) et celles x — et z , y - qui fixent la position de l’axe des conduisant à la même
DE GEOMETRIE- ag3
équation (4) , il s’ensuit que si l’on trace a volonté dans le plan y"z" que représente cette équation, les deux axesj' ,z t la transformée (</) n’aura plus de termes en x y et x z .
De plus la troisième équation (3') qui fait disparaître le terme en y”z" , laisse indéterminée l’une des quantités et et fi', lorsque l’on se donne et et fi" j il y a donc une in Imité d’axes obliques qui réduisent l’équation (</) à cette autre
(,) Ms"» + N/» + P*"‘ + T = o .
Mais l’existence des relations (2) constituant la perpendicularité des nouveaux axes, on exprimera analytiquement que l’axe des x " donné par les équations x — *t, y = fiz, est perpendiculaire au plan des y"z" représenté par l’équation (4), au moyen de ces deux autres relations (n° 109) :
2(A — B)/î-f-D(/2a — i)+(E/3— F)* = o, (5) 2(A — C)<*-f-E(«» — i)-4-(Dat — F)£=q. (6)
Alors en prenant la valeur de et dans la relation (5) et la substituant dans celle (6) , on aura
C 2(C — B ) ED -4- (D* — Ea) F >’
[4(C— B)(A— 13;E-4-(2F*— Da— E»)E4-2(2A— C -B)DF]/8* +[4(A — C)(A — B)F-f (2Ea — D® — F*)F-|-2(2B — C — A)DE]£ + 2(C — A)DF+(D» — F»)E = o.
L’inconnue donnée par cette équation du troisième degré aura au moins une valeur réelle ; par suite la relation (5) fournira également pour <t une valeur réelle : ainsi l’axe des
déterminé de la sorte sera non-seulement perpendiculaire au plan des y"z" , mais en outre jouira de la propriété de priver l’équation ( d ') des rectangles x"y" , z"z". D’un autre côté la direction de l’axe des y" dépend de et' et fi- or, il n’est pas difficile devoir , d’après l’analyse précédente, et à cause de la forme des relations (3') , que fi' serait donnée
par la meme équation du troisième degré que nous venons de trouver. Donc cette équation a ses trois racines réelles : l’une d’elles donne fi, l’autre fi' et la troisième fi". Ces trois quantités trouvées, on obtiendra et, a, et" au moyen de l’équation (5). Cette manière de prouver qu’il existe dans tous les cas un système unique d’axes rectangulaires susceptible de ramener l’équation générale (a) à la forme (<?) , est exposée avec beaucoup de détail dans les Annules de Mathématiques , tom. II, p 1 44- Nous engageons le lecteur à recourir, pour déplus ampleséclaircissemens,à cette précieuse collection -, il y verra que l’équation du troisième degré en fi présente quelques particularités remarquables, lorsqu’on suppose nul séparément le coefficient de fi3 , ou en meme temps ce coefficient et le terme indépendant de cet angle.
1 3g. L’équation («) étant résolue par rapport a 1 une quelconque des variables , donne deux valeurs égales et de signes contraires ; ainsi la surface courbe qui résulte de cette équation est divisée en deux parties égales par chacun des plans coordonnés , et l’origine des axes x"y"z" , qui a pour coordonnées abc , est le centre de cette surface: cependant si l’on trouvait pour abc des valeurs infinies (n° i38) , la surface serait évidemment dépourvue de centre, et l’équation (a) ne pourrait plus être ramenée a la forme que présente («); mais voici le moyen d’obvier à cet inconvénient.
Pouvant d’abord faire disparaître, de l’équation générale (a) , les rectangles des coordonnées , on tomliera sur un résultat de la forme
( f ) Aza + By‘-4-C*a-f-Gz4-ir)' -f-Ks-t-L = 0 ;
et faisant ensuite
on disposera des constantes arbitraires abc , soit pour chasser le terme tout connu, et n’avoir par conséquent que
Az's + B/2 +r.r'* 4- GY 4 H'/ -f- K'*'= o,
DE GÉOMÉTRIE. a9^
^oit pour l'aire disparaître trois termes, afin de parvenir à l’équation
(g) Az/a -4- B/a -f- Car'1 -f- KV = O ;
laquelle, quoique plus simple que(/) ,comprendnéanmoins ,
comme cette dernière , toutes les surfaces du second degré.
i4o. Nous pouvons à présent discuter aisément ces surfaces*, mais nous nous bornerons à en rappeler les propriétés les plus remarquables. Occupons-nous d’abord des surfaces qui sont comprises dans la formule
(*) Mz.* + Ny° + Px1 + T = o.
On a déjà vu (n° 186. L. C.) que les sections faites dans une surface sont très propres à en faire concevoir la nature , et qu’il convient, pour plus de simplicité, de les prendre parallèles aux plans coordonnés : nous nommerons par cette raison , sections parallèles , celles qui ont lieu dans cette hy potbèse*, quant aux traces de la surface sur les plans coordonnés, on les nomme sections principales. On désigne aussi sous le nom d'axes principaux , ceux des xy z , lorsqu’ ils sont rectangulaires.
Cela posé, supposons que MNP soieut positifs; et pour obtenir les sections principales de la surface, faisons succès si vement x — o , y — o , z = o -, on aura
Mz2 + Ny2 -f- T — - o j 1
Mz2 + Px2 4- T = o, l (A)
Nya + P*8 -+- T = o , )
équations qui ne donnent des ellipses réelles que lorsque T est négatif, et qui représentent celles d’un point place à l’origine même des axes, lorsque T est nul.
Si nous imaginons en outre trois plans coupans respeetivement parallèles aux plans coordonnés, leurs équations .seront (n° n6)
4g6 PROPOSITIONS
et par conséquent, celles des communes sections de ces nouveaux plans avec les surfaces du second ordre douées d’un centre, auront la forme
Mza + Nya = U , |
Mza Px1 = U' , > (*)
Nya -J- P*a = U". (
Ces équations appartiennent évidemment a des ellipses qui ont leurs centres sur les axes des x, y, z ; mais comme a! ,y sont des constantes arbitraires, on conçoit que U , U' , U"» qui sont des fonctions de ces constantes, peuvent devenir nuis, positifs ou négatifs. Dans le premier cas , les sections parallèles se réduisent chacune à un point ; dans le second cas elles sont réelles ; et dans le troisième elles sont imaginaires: ainsi la surface que nous considérons, et à laquelle on a donné le nom d 'ellipsoïde , est limitée dans tous les sens, et est douée de six sommets réels.
Pour s’assurer à priori que cette surface enveloppe 1 espace de toutes parts, menons un rayon vecteur quelconque par l’origine des coordonnées , et à cet effet faisons, n° 137,
x = /tiR , y z=z nR , 2 = pR ;
à l’aide de ces valeurs l’ équation (e) deviendra
MpaRa -f- N«aRa + P™aRa + T-°,
quantité qui est toujours réelle, puisque T doit être négatif, et qui ne peut jamais devenir infinie, quelle que soit la position du rayon vecteur R.
Si deux des coefficiens M, N, P étaient égaux, que l’on eut, par exemple, N = P, la troisième équation (£) deviendrait y* + *a = c’est-à-dire que toutes les sections parallèles au plan des xy seraient des cercles; et comme les
de GÉOMÉTBIF.. 297
lieux premières équations (A) deviendraient identiques , il s’ensuit que la surface proposée serait un ellipsoïde de révolution autour de l’axe des a.
Lorsque M — N = P, l’équation (e) représente évidemment celle d’une sphère dont le centre est à l’origine, et dont
le rayon = v/ - ne peut être réel que dans le cas où
T est négatif.
Enfin, si l’on avait M=o, l’équation Nya -f Pa4 + T = o ,
serait celle d’un cylindre dont l’axe coïnciderait avec celui des z.
L’équation (e) , dans laquelle on supposerait T = — T , deviendrait
Ma1 +%a + Pa4 — T =o; et il est remarquable que si l’on fait dans celle-ci ,
on a aW -h + bW == a'b*c' ;
équation symétrique à l’égard des demi-axes principaux a , b, c, et qui est, par rapport aux surfaces courbes du second ordre, ce qu’est l’équation (n° 5o) par rapport aux lignes du même ordre. Dans le cas où M = N , ou ce qui est de même , lorsque bz=c, on a seulement
aa(zî+/) + 6V = aaùa.
Telle est l’équation de l’ellipsoïde de révolution : ses axes sont 2 a et 2 b, et son axe de rotation est celui des a* , ainsi qu 1 est facile de s’en assurer.
Enfin, lorsque M = N = P , ou , ce qui est de meme quand a = b — c, on a simplement
298 propositions
c’est , comme l’on voit , l’équation de la surface d’une sphère du rayon a.
4' . Examinons maintenant la nature de la surface contenue dans l’équation [e), lorsque quelques-uns des coefliciens sont négatifs; posons par exemple {e) Mza — Nya — Pxa -f T = o ;
les traces de cette surface , ou ses sections principales , auront pour équations
Mza — %4-fT = o, ï Mz* — Px* -f- T = o , [ [Ji)
Nya 4- P*a — T = o ; J
la dernière appartient à l’ellipse, et les deux autres sont à l’hyperbole. Quant aux sections parallèles , elles seront données , comme ci-dessus , par des équations de la forme Mza — Nya = U , ï Mza — Pxa = U' , } (*')
Ny* -}-Pxa = U", )
et donneront naissance à des courbes de môme espèce que les équations ( K ). Il peut arriver, dans ces équations, que T soit positif ou négatif, ce qui fait deux cas faciles a discuter ; mais , dans l’un comme dans l’autre , ces surfaces indéfinies dans tous les sens sont des hyperboloïdes qui ont une ou deux nappes ; par conséquent, quatre ou deux sommets réels.
Si dans l’équation (/) on fait comme précédemment
P i N i M __ i T a* ’ T b** T ~~ ta ’
on aura
èV*xa -f- a? c'y* — oa6aza — a*ô?c*
pour celles de l’hyperboloïde à une nappe rapportée à ses axes principaux. Cette hyperboloïde est de révolution lorsque N' = P , ou a = b ; et son équation est c9(xa + y') — «V = aV.
Quant à l’hyperboloïde à deux, nappes, son équation est évidemment
a*bQz% — aacay* — b*c*x% = a9&9c9, et l’égalité des coefliciens a, b caractérise qu’il est de révolution : dans ce cas , son équation est
Si l’équation ( e ) était réduite à
Ms9— Ny9-|-T = o,
ce qui a nécessairement lieu lorsque P = o , on retomberait sur l’équation d’un cylindre perpendiculaire au plan des x y , et dont la base serait une hyperbole.
Enfin , si on avait
Ms9 — Ny9 — Px9=o,
auquel cas T = o , la troisième des équations (A') appartiendrait à un point qui serait l’origine même des coordonnées ; et les deux premières , qui sont en général à l’hyperbole , ne donneraient plus que des lignes droites ; d’ofi il est aisé de conclure que, dans l’hypothèse actuelle, l’on a une surface conique dont le sommet est a l’origine des axes , et qui est asymptote à l’hyperboloïde à une nappe. Ori tirerait la même conséquence par rapport à l’hyperboloïde à deux nappes.
142. Pour terminer la discussion des surfaces courbes du second ordre , reprenons leur équation générale
(g') A39 -f- By9 + Gx9 -|- Kx == o ,
qui , comme il serait facile de le démontrer, renferme aussi l’ellipsoïde et l’hyperboloïde; mais afin d’en compléter 1 analyse, supposons que C soit nul , on aura simplement alors
c g ) As9 -f By9 ■+■ Kx ziz O ;
et les équations des sections principales seront
3oo
rnorosiTiONs
Az4 -h Bj9 = o ,
Az9 + K* = o,
By9 + K» = o.
La première ne donne qu’un point ; mais la seconde et la troisième produisent la parabole , si * ou K est négatif } et comme les sections parallèles ont pour équations Az9 + Bya = U ,
A z9 -f* Kx = U',
By9 -f- Kjc = U\.
la surface que l’on considère , et qui est dépourvue de centre , prend le nom de paraboloïde elliptique. L hypothèse A = B la rend de révolution.
Lorsque A et B sont de signes difFérens, l’une des sections principales est le système de deux droites, et les sections parallèles correspondantes sont des hyperboles. Quant aux deux autres sections principales , elles restent de nature parabolique , et c’est pour cette raison que la surface proposée est celle du paraboloïde hyperbolique. Elle n’a pas non plus de centre, mais elle est douée de deux plans asymptotes, passant par les droites dont il s’agit, et par l’axe des or. Cette surface se trouve aussi donnée par l’équatiôn
xy -J- Gz = o
car , premièrement , toute section parallèle au plan des xy , ayant pour équation
xy 4- Gy = o ,
en faisant dans la précédente z = y , on reconnaît qu elle est représentée par une hyperbole rapportée à ses asymptotes ( n° 5o ) -, secondement , toute section faite par un plan qui passe par l’axe des z et dont la trace sur le plan des xy est y P* ; se trouve être une parabole ayant évidemment pour équation
P*9 4- Gz = o.
DE GÉOMÉTRIE. 3o I
Lorsqu’une droite s’appuie sur deux autres , et reste, dans toutes ses positions, parallèle à un plan, elle engendre le paraboloïde hyperbolique.
Enfin, le cylindre à base parabolique répond au cas où l’un des coefficiens A, B est nul, dans l’équation^).
En discutant de la même manière l’équation
Az* + Hy -f- Kx = o ,
on s’assurera qu’elle donne lieu aussi au cylindre parabolique; car d’une part les traces ou sections principales de la surface sont
A za -f- H y = o ,
A za -j- Kjc = o ,
Hy +Kx=o;
et de l’autre part , les sections respectivement parallèles à ces traces sont
A z9 -J- Hy = U ,
Az*+ K* = U',
Hy + K* = U",
U, U', U" variant d’une section à l’autre. Or , on voit , par ces deux groupes d’équations, que toutes les coupes parallèles aux plans des x z et yz sont des paraboles égales, tandis que celles qui correspondent au plan des xy sont des lignes droites parallèles entre elles. On reconnaît donc par là le caractère distinctif des surfaces cylindriques.
Il est bon de remarquer que toutes les sections parallèles faites dans une surface du second degré sont semblables , et que si une telle surface est rapportée à des coordonnées obliques , son équation sera de même forme que par rapport à ses axes rectangles.
Ce que nous venons de dire , touchant les surfaces du second degré , n’est qu’un fragment d’une théorie complète exposée avec beaucoup de détails dans les ouvrages cités au commencement du n° 116; mais cela suffit dans ce Recueil. •
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